امتحانات الرياضيات مسلك علوم اقتصادية PDF

تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم اقتصادية PDF

يمكنك تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم اقتصادية بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

معلومات عامة عن الامتحان

• المادة: الرياضيات
• مدة الإنجاز: 3 ساعات
• المعامل: يختلف حسب المسلك (شعبة العلوم التجريبية: مسلك علوم الحياة والأرض، مسلك العلوم الفيزيائية، ومسلك العلوم الزراعية).
• التوجيهات العامة: يُسمح باستعمال الآلة الحاسبة غير القابلة للبرمجة؛ ويمكن إنجاز التمارين حسب الترتيب المناسب للمترشح؛ ويُنبغي تفادي استعمال اللون الأحمر عند تحرير الأجوبة.
• مكونات الموضوع: يتكون الامتحان من ثلاثة تمارين مستقلة ومسألة شاملة:
  1. التمرين الأول: الهندسة الفضائية (3 نقط)
  2. التمرين الثاني: الأعداد العقدية (3 نقط)
  3. التمرين الثالث: حساب الاحتمالات (3 نقط)
  4. المسألة: دراسة الدوال العددية وحساب التكامل والمتتاليات العددية (11 نقطة)

1. التمرين الأول: الهندسة الفضائية (3 نقط)

يُدرس الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ بالاعتماد على النقاط: $A(0, 1, 4)$، $B(2, 1, 2)$، $C(2, 5, 0)$، و$Q(3, 4, 4)$.

الأسئلة:

1. التحقق من الجداء المتجهي $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ واستنتاج مساحة المثلث $ABC$ والمسافة $d(B, (AC))$.
2. تحديد مسقط النقطة $Q$ على المستوى $(ABC)$ والتحقق من أن مسافة النقطة $Q$ عن المستوى $(ABC)$ تساوي 3 ($d(Q, (ABC)) = 3$).
3. تحديد مركز وشعاع الفلكة $(S)$ ذات المعادلة $x^2 + y^2 + z^2 – 6x – 4y – 4z + 3 = 0$، وتبيان أن المستوى $(ABC)$ مماس للفلكة $(S)$ في نقطة محددة.
4. تحديد معادلة ديكارتية لكل من المستويين $(Q_1)$ و$(Q_2)$ الموازيين لـ $(ABC)$ واللذين يقطعان الفلكة $(S)$ وفق دائرة شعاعها $\sqrt{5}$.

2. التمرين الثاني: الأعداد العقدية (3 نقط)

في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر $(O, \vec{u}, \vec{v})$، تُعتبر النقاط $A، B، C، D$ ذات الألحاق على التوالي: $a = -2+2i$، $b = 1+\sqrt{3}+i$، $c = 2$، و$d = b$.

الأسئلة:

1. كتابة العدد العقدي $a$ على الشكل المثلثي.
2. التحقق من أن $b – d = c$، وتبيان المتساوية $(2+i)(b-a) = b-d$ واستنتاج استقامية النقط $A$ و$B$ و$C$.
3. التحقق من أن $ac = 2b$، واستنتاج العلاقة بين $\arg(b)$ وعمدة الأعداد العقدية.
4. دراسة الدوران $R$ الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi}{2}$ وتحويلات النقاط إلى جانب استنتاج قياس الزاوية $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})$.

3. التمرين الثالث: حساب الاحتمالات (3 نقط)

يتعلق بالتجربة العشوائية باستخدام صندوقين لا يمكن التمييز بين كراتهما باللمس:

• الصندوق $U_1$: يحتوي على 6 كرات تحمل الأعداد: $0، 0، 1، 1، 1، 2$.
• الصندوق $U_2$: يحتوي على 5 كرات تحمل الأعداد: $1، 1، 2، 2، 2$.
• التجربة: سحب كرة من الصندوق $U_1$ وتسجيل العدد $a$، ثم وضعها في الصندوق $U_2$، وسحب كرة منه وتسجيل العدد $b$.

الأسئلة:

1. حساب احتمال الحدث $A$ (“الكرة المسحوبة من $U_1$ تحمل العدد 1”)، والتحقق من احتمال الجداء عبر شجرة الإمكانيات.
2. حساب الاحتمال الشرطي $p(A/B)$ (احتمال الحدث $A$ علما أن الحدث $B$ “الجداء $ab=2$ محقق”).
3. دراسة المتغير العشوائي $X$ الذي يربط كل نتيجة للجداء $ab$، وإعطاء قانون احتماله (القيم: $0، 1، 2، 4$)، والمقارنة بين احتمالي الحدثين $M$ (“الجداء $ab$ زوجي غير منعدم”) و$N$ (“الجداء $ab$ يساوي 1”).

4. المسألة: دراسة الدوال العددية وحساب التكامل والمتتاليات العددية (11 نقطة)

تتناول دراسة الدالة العددية $f$ المعرفة على المجال $]0, +\infty[$ ومنحناها الممثل $(C_f)$ في معلم متعامد منظم $(O, \vec{i}, \vec{j})$ (الوحدة $1\text{cm}$):

1. النهايات والفروع اللانهائية: حساب النهايات بجوار $0$ و$+\infty$ (بما في ذلك $x(\ln x)$)، وتحديد التأويل الهندسي والفرع الشلجمي باتجاه محور الأفاصيل.
2. الاشتقاق والتغيرات: إثبات تعبير المشتقة الأولى، تبيان أن الدالة تزايدية قطعا على المجال المعني وإعطاء جدول التغيرات، دراسة إشارة المشتقة الثانية $f”$ لتحديد تقعر المنحنى $(C_f)$ وأفصولي نقطتي انعطافه.
3. الوضع النسبي والتمثيل المبياني: انطلاقا من المبيان والدالة، تحديد إشارة الدالة واستنتاج الوضع النسبي للمستقيم $(\Delta)$ ذي المعادلة $y = x$ بالنسبة للمنحنى $(C_f)$، وإنشاء المنحنى والمستقيم.
4. حساب التكامل والمساحات: التحقق من الدالة الأصلية، استخدام تقنية المكاملة بالأجزاء، واستنتاج مساحة حيز المستوى المحصور بين منحنى الدالة $f$ ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتيهما $x = 1$ وصيغة التكامل بدلالة $\alpha$.
5. المتتاليات العددية: دراسة المتتالية العددية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_0 \in ]0, 1]$ والعلاقة $u_{n+1} = f(u_n)$؛ الإثبات بالترجع أن $0 < u_n < 1$ لجميع قيم $n$، إثبات تزايدية المتتالية، واستنتاج تقاربها وحساب نهايتها.

عناصر الإجابة والتنقيط الرسمي

يعتمد التصحيح المعتمد على توزيع دقيق للنقاط لكل سؤال فرعي (تتراوح بين $0.25$ و$1.5$ نقطة)، مع مراعاة قبول كل طريقة صحيحة تؤدي إلى الحل السليم وتقييم مختلف مراحل الحل والخطوات المنهجية بدقة.