امتحانات الرياضيات مسلك علوم رياضية أ (خيار فرنسي) PDF
محتوى الملف
تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم رياضية أ (خيار فرنسي) PDF
يمكنك تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم رياضية أ (خيار فرنسي) بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.
1. معلومات عامة وإطار الاختبار
- الجهة المصدرة: وزارة التربية الوطنية والتعليم الأولي والرياضة بالمملكة المغربية (المركز الوطني للتقويم والامتحانات).
- المادة والمعامل: مادة الرياضيات، شعبة العلوم الرياضية (أ) و (ب) (خيار فرنسية)، المعامل 9.
- مدة الإنجاز والضوابط: 4 ساعات، مع منع استخدام الآلة الحاسبة واللون الأحمر.
- بنية الاختبار: يتكون الاختبار من خمسة تمارين مستقلة تغطي فروع التحليل، الأعداد المركبة، الحسابيات، والبنى الجبرية، مرفقة بعناصر الإجابة الرسمية وسلم التنقيط (Barème) الموزع بدقة لضمان الموضوعية.
2. تفاصيل التمارين والمحاور الأساسية
التمرين الأول: التحليل (7.75 نقاط)
- الجزء الأول: دراسة متراجعات وتفاوتات تتضمن الدالة اللوغاريتمية النيبيرية $\ln(1+x)$، وحساب نهاية الدالة $g$ عند $0^+$.
- الجزء الثاني: دراسة دالة عددية $f$ معرفة على المجال $[0, +\infty[$، وتضم حساب النهايات عند $+\infty$ والتفسير الهندسي، إثبات اتصال ودراسة قابلية الاشتقاق للدالة $f$ على يمين 0 وحساب المشتقة الجانبية $f_d'(0)$، حساب المشتقة $f'(x)$ على المجال $]0, +\infty[$ وإطرافها، وإعطاء جدول تغيرات الدالة $f$ وإنشاء المنحنى الممثل $(C)$ مع إبراز نصف المماس عند النقطة ذات الأبصيس 0.
- الجزء الثالث: دراسة وجود وحدانية حل المعادلة $f(x) = 3x$ على المجال $]0, +\infty[$ برمز $\alpha$، ودراسة متتالية عددية $(u_n)$ معرفة بـ $u_0 \in ]0, \alpha[$ و $u_{n+1} = f(u_n)$، وإثبات تضاؤل حدودها وتقاربها نحو 0 أو $\alpha$ عبر متراجعات وتطبيقات مبرهنة التزايدات المنتهية.
التمرين الثاني: التحليل (2.25 نقطة)
- دراسة دالة أسية، وتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على قطب المربعات والنقط $M_k$ على المنحنى $(C)$ لـ $f(x) = e^x$.
- حساب مسافات النقط المتتالية $M_k M_{k+1}$ واستنتاج تأطير المجاميع المرتبطة بالمتتالية $(S_n)$.
- حساب نهاية المتتالية $S_n$ بدلالة تكامل محدد $\int \sqrt{1+e^{2x}} dx$.
التمرين الثالث: الأعداد المركبة والهندسة (3.5 نقاط)
- الجزء الأول: دراسة العدد المركب $u = 1 + (2-\sqrt{3})i$، وتحديد الأشكال الأسية للأعداد المركبة ذات الصلة، واستنتاج قيم مضبوطة لـ $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ و $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$، وكتابة $u$ على شكل عمدة وأسس، مع إثبات المساواة المرتبطة بالقيم الدائرية.
- الجزء الثاني: دراسة متتاليتين عدديتين $(x_n)$ و $(y_n)$ معرفتين ترجعيًا، وإثبات خواص ترجعية مرتبطة بالعقدية (مثل العلاقة $x_n + i y_n = u^n$) واستنتاج تعبيريهما بدلالة $n$.
- الجزء الثالث: دراسة استقامة النقط $O$ و $A_n$ و $A_{m}$ (حيث أفصول النقطة $A_n$ هو $u^n$)، وإثبات تعامد المثلثات $OA_n A_{n+1}$.
التمرين الرابع: الحسابيات (3 نقاط)
- دراسة عدد أول فردي $p$ والمعادلة في $\mathbb{Z}$: $x^2 \equiv 2 [p]$.
- إثبات متطابقات توافقية وعلاقات توافقية بترديد $p$ (مثل $2^p \equiv 2 [p]$ و $2^{p-1} \equiv 1 [p]$) باستخدام مبرهنة فيرما الصغرى.
- حساب معاملات ثنائية الحدود ($C_p^k$) وبرهنة أن العدد الأولي $p$ يقسمها لكل $k \in \{1, 2, …, p-1\}$، وتطبيق صيغة موافر (Moivre) على الأعداد العقدية ذات الشكل $(1+i)^p$ لإثبات المتساويات المثلثية المرتبطة بـ $\cos$.
- دراسة عدم قبول المعادلة لحلول في $\mathbb{Z}$ عندما يكون $p \equiv 5 [8]$.
التمرين الخامس: الهياكل الجبرية (3.5 نقاط)
- الجزء الأول:
- دراسة مجموعة الماتريكسات (المصفوفات) $E$ من الشكل $M(x,y) = \begin{pmatrix} x & 3y \\ y & x \end{pmatrix}$، وإثبات أنها تشكل زمرة جزئية، فضاءً متجهياً جزئياً (sous-espace vectoriel)، وحلقة تبادلية وحدوية.
- تبيان عدم توفر المقلوب لبعض العناصر (مثل $M(\sqrt{3}, 1) \times M(-\sqrt{3}, 1) = 0$) واستنتاج أنها لا تشكل جسماً.
- الجزء الثاني:
- دراسة المجموعة $F$ للأعداد من الشكل $x + y\sqrt{3}$ وخصائصها الجبرية.
- تعريف وتطبيق تطبيق تشاكلي ($\varphi$) بين $(F \setminus \{0\}, \times)$ و $(E \setminus \{0\}, \times)$.
- استنتاج أن المجموعات المزودة بالعمليات المقترحة تشكل زمرة تبادلية ثم جسماً تبادلياً (corps commutatif) $(G, +, \times)$.
3. عناصر الإجابة الرسمية وسلم التنقيط
تتضمن وثيقة الامتحان عناصر الإجابة الرسمية المعتمدة (Éléments de réponses) وسلم التنقيط (Barème) الموزع بدقة على الأسئلة الفرعية لضمان المعايرة والموضوعية في تقييم إنجازات المترشحين لمختلف محاور الاختبار.