امتحانات الرياضيات مسلك علوم الحياة والأرض (خيار فرنسي) PDF

تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم الحياة والأرض (خيار فرنسي) PDF

يمكنك تنزيل امتحانات الرياضيات مسلك علوم الحياة والأرض (خيار فرنسي) بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

ملخص الامتحان الوطني الموحد للبكالوريا
الدورة العادية 2020 – مادة الرياضيات
شعبة العلوم التجريبية: مسلك علوم الحياة والأرض ومسلك العلوم الفيزيائية (خيار فرنسية)

التعليمات العامة

• يُسمح باستخدام الحاسبة غير القابلة للبرمجة.
• يمكن للمترشح معالجة تمارين الامتحان حسب الترتيب الذي يناسبه.
• يجب تفادي استخدام اللون الأحمر أثناء تحرير الحلول.

مكونات الموضوع

يُتكون الامتحان من ثلاثة تمارين ومسألة واحدة مستقلة فيما بينها، وتتوزع حسب المجالات كالتالي:

• التمرين الأول: المتتاليات العددية (4 نقط).
• التمرين الثاني: الأعداد العقدية (5 نقط).
• التمرين الثالث: النهايات، الاشتقاق وحساب التكامل (4 نقط).
• المسألة: دراسة دالة عددية (7 نقط).

ملاحظات رمزية أساسية واردة في الموضوع:

• يُرمز بـ \(\bar{z}\) إلى مرافق العدد العقدي \(z\).
• يُرمز بـ \(\ln\) إلى دالة اللوغاريتم النيبيري.

تفاصيل التمارين والمشاكل

التمرين الأول: المتتاليات العددية (4 نقاط)

تُعبر المتتالية العددية \((u_n)\) المعرفة بـ: \(u_0 = \frac{2}{3}\) و \(u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n + 5}\) لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\).

1. حساب \(u_1\) (0.25 نقطة).
2. البرهنة بالترجع أن لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\)، \(u_n < 0\) (0.5 نقطة).
3. أ) البرهنة أن لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\)، \(0 < |u_{n+1}| \le \frac{2}{5}|u_n|\)، ثم استنتاج أن لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\)، \(0 < |u_n| \le \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n\) (1 نقطة).
   ب) حساب نهاية المتتالية \(\lim u_n\) (0.5 نقطة).
4. نعتبر المتتالية العددية \((v_n)\) المعرفة بـ: \(v_n = \frac{u_n}{u_n + 2}\) لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\).
   أ) البرهنة أن \((v_n)\) متتالية هندسية أساسها \(\frac{2}{5}\) (0.75 نقطة).
   ب) تحديد \(v_n\) بدلالة \(n\) واستنتاج \(u_n\) بدلالة \(n\) لكل \(n\) من \(\mathbb{N}\) (1 نقطة).

التمرين الثاني: الأعداد العقدية (5 نقاط)

1. في مجموعة الأعداد العقدية \(\mathbb{C}\)، نعتبر المعادلة: \((E) : z^2 – 2(\sqrt{2} + \sqrt{6})z + 16 = 0$
   أ) التحقق من أن مميز المعادلة \((E)\) هو \(\Delta = -4(\sqrt{6} – \sqrt{2})^2\) (0.5 نقطة).
   ب) استنتاج حلول المعادلة \((E)\) (1 نقطة).
2. لتكن الأعداد العقدية \(a = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i(\sqrt{6} – \sqrt{2})\) و \(b = 1 + i\sqrt{3}\) و \(c = \sqrt{2} + i\sqrt{2}\).
   أ) التحقق من أن \(bc = a\)، ثم استنتاج أن \(ac = 4b\) (0.75 نقطة).
   ب) كتابة العددين العقديين \(b\) و \(c\) على الشكل المثلثي (0.5 نقطة).
   ج) استنتاج أن \(a = 4\left(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12}\right)\) (0.5 نقطة).
3. في المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر \((O, \vec{u}, \vec{v})\)، نعتبر النقط \(B, C\) و \(D\) ذات الأحقاس (الأفخاس) \(b, c\) و \(d\) حيث \(d = \frac{a}{2}\). ليكن \(z\) أفخاس نقطة \(M\) من المستوى و \(z’\) أفخاس \(M’\) صُورة \(M\) بالدوران \(R\) الذي مركزه \(O\) وزاويته \(\frac{7\pi}{12}\).
   أ) التحقق من أن \(z’ = \frac{a}{4}z\) (0.5 نقطة).
   ب) تحديد صُورة النقطة \(C\) بالدوران \(R\) (0.25 نقطة).
   ج) تحديد طبيعة المثلث \(OBC\) (0.25 نقطة).
   د) البرهنة أن \(d^2 = -128b\) واستنتاج أن النقط \(O\) و \(B\) و \(D\) مستقيمية (0.75 نقطة).

التمرين الثالث: النهايات، الاشتقاق وحساب التكامل (4 نقاط)

1. نعتبر الدالة العددية \(g\) المعرفة على المجال \(]0, +\infty[\) بـ: \(g(x) = 2x – 2 – \ln x\).
   أ) البرهنة أن لكل \(x\) من \(]0, +\infty[\)، \(g'(x) = \frac{2x – 1}{x}\) (0.5 نقطة).
   ب) البرهنة أن \(g\) تزايدية على \([\frac{1}{2}, +\infty[\) (0.5 نقطة).
   ج) استنتاج أن لكل \(x\) من \([1, +\infty[\)، \(0 < \ln x < 2x\) (0.5 نقطة).
   د) البرهنة أن لكل \(x\) من \(]0, +\infty[\)، \(0 < \frac{(\ln x)^2}{x} < \dots\) واستنتاج نهاية \(\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x}\) (0.75 نقطة).
2. أ) البرهنة أن الدالة \(G\) دالة أصلية لـ \(g\) على \(]0, +\infty[\) (0.75 نقطة).
   ب) حساب التكامل \(\int_1^e g(x)dx\) (0.5 نقطة).

المسألة: دراسة دالة عددية (7 نقاط)

نعتبر الدالة العددية \(f\) المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ: \(f(x) = \frac{x – 2}{e^x – 4} + 2\) ومنحناها \((C)\) في معلم متعامد ممنظم \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (الوحدة: \(2\text{cm}\)).

1. حساب نهايتي الدالة \(f\) عند \(+\infty\) و \(-\infty\) (0.5 نقطة).
2. أ) إثبات أن المستقيم \((\Delta)\) ذي المعادلة \(y = -x + 5\) مقارب للمنحنى \((C)\) بجوار \(-\infty\) (0.5 نقطة).
   ب) حل المعادلة \(e^x – 4 = 0\) ثم تبيين وضعية المنحنى \((C)\) بالنسبة للمستقيم \((\Delta)\) (0.75 نقطة).
3. حساب \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) وتأويل النتيجة هندسياً (0.5 نقطة).
4. أ) حساب المشتقة \(f'(x)\) لكل \(x\) من \(\mathbb{R}\) (0.75 نقطة).
   ب) إعطاء جدول تغيرات الدالة \(f\) (0.5 نقطة).
5. حساب المشتقة الثانية \(f”(x)\) لكل \(x\) من \(\mathbb{R}\) وتبيين أن النقطة \(A(2, 2)\) نقطة انعطاف للمنحنى \((C)\) (0.75 نقطة).
6. تبيين أن المعادلة \(f(x) = 0\) تقبل حلاً وحيداً \(\alpha\) محصوراً في مجال معين (0.5 نقطة).
7. إنشاء المستقيم \((\Delta)\) والمنحنى \((C)\) في المعلم \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (0.5 نقطة).
8. أ) تبيين أن الدالة \(f\) تقبل دالة عكسية \(f^{-1}\) معرفة على مجال محدد (0.5 نقطة).
   ب) إنشاء منحنى الدالة العكسية \(f^{-1}\) في نفس المعلم (0.75 نقطة).
   ج) حساب مشتقة الدالة العكسية \((f^{-1})'(2 – \ln 3)\) (0.5 نقطة).