تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية PDF

تنزيل تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية PDF

يمكنك تنزيل تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية

1. تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية

أ- العدد العشري النسبي:

• الأعداد العشرية الموجبة: أعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $2$ ؛ $1,4$ ؛ $3,14$ ؛ $11$ ؛ $2,5$.
• الأعداد العشرية السالبة: أعداد مثل: $0$ ؛ $-2$ ؛ $-1$ ؛ $-0,44$ ؛ $-12$ ؛ $-2,5$.
• ملاحظات أساسية:
  • العدد $0$ هو عدد عشري موجب وسالب في آن واحد.
  • الأعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $-2,8$ ؛ $14$ ؛ $-1$ ؛ $5$ ؛ $-51$ ؛ $11…$ تسمى أعدادا صحيحة نسبية.
  • العدد مثل $-2,5$ أو $-14,12$ هو عدد عشري نسبي وليس بعدد صحيح نسبي.

ب- المستقيم المدرج:

• وحدة التدريج: تدريج مستقيم يعني اختيار نقطتين منه $O$ و $I$ وإسناد العدد $0$ للنقطة $O$ والعدد $1$ للنقطة $I$، ومنه فإن وحدة التدريج هي $[OI]$.
• خصائص المستقيم المدرج:
  • تسمى النقطة $O$ أصل المستقيم المدرج، ويسمى طول $[OI]$ وحدة التدريج.
  • يُمثّل كل عدد عشري نسبي بنقطة واحدة من المستقيم المدرج.
  • العدد الذي يمكن إسناده لكل نقطة يُسمى أفصولها.
  • أفصول النقطة $A$ هو $3$، وأفصول النقطة $B$ هو $-2$.
  • مسافة العدد $3$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OA]$ وتساوي $3$، ومسافة العدد $-5$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OP]$ وتساوي $5$.
  • المقابل: العدد $2$ هو مقابل العدد $-2$ (والعدد $-2$ هو مقابل العدد $2$)، ويقال إن العددين $-2$ و $2$ متقابلان.

ج- مقارنة عددين عشريين نسببين:

• مقارنة عددين مختلفين في الإشارة: كل عدد عشري موجب أكبر من كل عدد عشري سالب غير منعدم (مثال: $-9 < 2$ ؛ $-25,44 < 1000$).
• مقارنة عددين لهما نفس الإشارة:
  • إذا كان عددان عشريان سالبين، فإن أكبرهما هو الأقرب من نقطة الصفر (مثال: $-36 < -1$ ؛ $-1 < -2,5$ ؛ $-36 < -0,1$ ؛ $-2,5 < -1$).
  • إذا كان عددان عشريان موجبان، فإن أكبرهما هو الأبعد عن نقطة الصفر.
• الرموز المستعملة:
  • $a \le b$: تعني $a$ أصغر من أو تساوي $b$ (أي $a < b$ أو $a = b$).
  • $a \ge b$: تعني $a$ أكبر من أو تساوي $b$ (أي $a > b$ أو $a = b$).
  • أمثلة: $-6 < 2$ ؛ $-12 > -1$.

2. عمليات الحساب على الأعداد العشرية النسبية

أ- جمع عددين عشريين نسببيين:

• قاعدة 1: مجموع عددين عشريين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري لهما نفس الإشارة، ومسافته عن الصفر هي مجموع مسافتيهما عن الصفر (مثال: $(-57,225) + (-514) = – (57,225 + 514)$).
• قاعدة 2: لحساب مجموع عددين عشريين مختلفين في الإشارة، نأخذ إشارة العدد الأبعد عن الصفر ثم نحسب فرق مسافتيهما عن الصفر (أمثلة: $-36 + 14,11 = -(36 – 14,11) = -21,89$ ؛ $125 + (-45,5) = 79,5$ ؛ $-31,65 + (-11,5) = -43,15$).

ب- فرق عددين عشريين نسبيين:

• القاعدة: لحساب فرق عددين عشريين نسبيين، نضيف إلى الحد الأول مقابل الحد الثاني. فإذا كان $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين فإن: $a – b = a + (-b)$.
• أمثلة:
  • $12 – (-13,55) = 12 + 13,55 = 25,55$
  • $-34 – 16 = -34 + (-16) = -(34 + 16) = -50$

ج- ضرب الأعداد العشرية النسبية:

• جداء عددين مختلفين في الإشارة: هو عدد عشري نسبي سالب (أمثلة: $25,5 \times (-2) = -51$ ؛ $-11,5 \times 50 = -575$).
• جداء عددين لهما نفس الإشارة: هو عدد عشري نسبي موجب (أمثلة: $-21 \times (-5) = 105$ ؛ $-0,05 \times (-10) = 0,5$).

د- قسمة الأعداد العشرية النسبية:

• تعريف: ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين بحيث $b \neq 0$. العدد $q$ الذي يحقق $b \times q = a$ يسمى خارج $a$ على $b$ ويكتب: $q = \frac{a}{b}$ (مثال: بما أن $(-3) \times (-2) = 6$ فإن $\frac{6}{-2} = -3$).
• خارج عددين لهما نفس الإشارة: هو عدد عشري نسبي موجب (مثال: $-807,95 \div (-13) = 62,15$ ؛ $7,81 \div 1,1 = 7,1$).
• خارج عددين مختلفين في الإشارة: هو عدد عشري نسبي سالب (مثال: $807,95 \div (-13) = -62,15$ ؛ $-7,81 \div 1,1 = -7,1$).

3. القوى

أ- قوة عدد عشري نسبي:

• تعريف: ليكن $a$ عددا عشريا نسبيا و $n$ عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم: $$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ من العوامل}}$$
• ملاحظات وتسميات:
  • يسمى $a$ أساس القوة، ويسمى $n$ أس القوة.
  • أمثلة: $5^2 = 5 \times 5 = 25$ ؛ $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$.
  • لكل عدد عشري نسبي $a$ غير منعدم: $a^1 = a$ و $a^0 = 1$ (أمثلة: $999^1 = 999$ ؛ $4^0 = 1$).

ب- إشارة قوة أساسها سالب:

تكون قوة أساسها سالب:

• موجبة: إذا كان أسها عددا زوجيا (مثال: إشارة $(-7)^4$ موجبة).
• سالبة: إذا كان أسها عددا فرديا (مثال: إشارة $(-5)^3$ سالبة).

ج- قواعد الحساب على القوى:

ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين، و $n$ و $m$ عددين صحيحين طبيعيين:

• $a^n \times a^m = a^{n+m}$
• $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
• $(a^n)^m = a^{n \times m}$
• $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
• $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$

د- قوى العدد 10:

لكل عدد صحيح طبيعي $n$:

$$10^n = \underbrace{100 \dots 0}_{n \text{ من الأصفار}}$$

• أمثلة:
  • $10^5 = 100000$
  • $10^{11} = 100000000000$
  • $10^{22} = 10000000000000000000000$