الحساب المثلثي PDF

تنزيل الحساب المثلثي PDF

يمكنك تنزيل الحساب المثلثي بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

الحساب المثلثي

1. النسب المثلثية لزاوية حادة

في مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ (حيث $[BC]$ هو الوتر):

• جيب تمام زاوية حادة ($\cos$): النسبة بين طول الضلع المحاذي للزاوية وطول الوتر.
  $$\cos(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المحاذي للزاوية } ABC}{\text{طول الوتر } BC}$$
• جيب زاوية حادة ($\sin$): النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر.
  $$\sin(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المقابل للزاوية } ABC}{\text{طول الوتر } BC}$$
• ظل زاوية حادة ($\tan$): النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المحاذي لها.
  $$\tan(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المقابل للزاوية } ABC}{\text{طول الضلع المحاذي للزاوية } ABC}$$

2. الخاصيات الأساسية

مهما كان $\alpha$ قياس زاوية حادة ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$):

• محصورة بين القيمتين: $0 < \cos\alpha < 1$ و $0 < \sin\alpha < 1$
• الخاصية الثانية: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$
• الخاصية الثالثة (الظل): $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

3. النسب المثلثية لزاويتين متتامتين

إذا كان $\alpha$ و $\beta$ قياسي زاويتين حادتين بحيث $\alpha + \beta = 90^\circ$:

• $\cos\alpha = \sin\beta$
• $\sin\alpha = \cos\beta$
• $\tan\alpha = \frac{1}{\tan\beta}$

4. النسب المثلثية لزوايا خاصة

• 0°: $\sin = 0$ ، $\cos = 1$ ، $\tan = 0$
• 30°: $\sin = \frac{1}{2}$ ، $\cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\tan = \frac{\sqrt{3}}{3}$
• 45°: $\sin = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\cos = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\tan = 1$
• 60°: $\sin = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\cos = \frac{1}{2}$ ، $\tan = \sqrt{3}$
• 90°: $\sin = 1$ ، $\cos = 0$ ، $\tan = \text{غير معرف}$

5. تطبيق عددي نموذج

نعتبر $\alpha$ قياس زاوية حادة غير منعدمة حيث $\cos\alpha = \frac{2}{3}$:

• حساب $\sin\alpha$ :
  بما أن $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$، فإن:
  $$\sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha = 1 – \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 – \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
  ومنه:
  $$\sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$
• حساب $\tan\alpha$ :
  $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$
• حساب $\sin(90^\circ – \alpha)$ :
  بما أن $\alpha$ و $(90^\circ – \alpha)$ زاويتان متتامتان، فإن:
  $$\sin(90^\circ – \alpha) = \cos\alpha$$