الرياضيات الثالثة اعدادي

# معادلة مستقيم ## 1. المعادلة المختصرة لمستقيم (لا يوازي محور الأراتيب) * **تعريف:** في معلم متعامد $(O, I, J)$، تنتمي النقط التي ترتبط إحداثياتها $(x, y)$ بالعلاقة $y = ax + b$ إلى المستقيم $(AB)$. وتُسمى هذه المتساوية المعادلة المختصرة للمستقيم $(AB)$. * **مصطلحات أساسية:** * العدد $a$ يُمثّل **ميل المستقيم** أو **المعامل الموجه**. * العدد $b$ يُمثّل **الأرتوب عند الأصل**. * **طريقة التحديد:** يُحدد ميل المستقيم المار من نقطتين $A$ و $B$ بحساب نسبة فرق الأرتوبين إلى فرق الأفصولين، ثم يُحسب الأرتوب عند الأصل $b$ بتعويض إحداثيات إحدى النقطتين في المعادلة. * **حالات خاصة:** * **معادلة مستقيم يمر من نقطتين لهما نفس الأرتوب:** يكون ميله منعدماً ($a = 0$). * **معادلة مستقيم يمر من نقطتين لهما نفس الأفصول:** (مستقيم يوازي محور الأراتيب). --- ## 2. تقاطع المستقيم مع محوري المعلم * **تقاطع المستقيم ومحور الأفاصيل:** نُحدد إحداثيات نقطة التقاطع بوضع الأرتوب يساوي صفراً ($y = 0$). * **تقاطع المستقيم ومحور الأراتيب:** نُحدد إحداثيات نقطة التقاطع بوضع الأفصول يساوي صفراً ($x = 0$). --- ## 3. مستقيمان متوازيان * **الخاصية المباشرة:** إذا كان لمستقيمين نفس الميل، فإنهما متوازيان. * **الخاصية العكسية:** إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن لهما نفس الميل. --- ## 4. تعامد مستقيمين * **الخاصية المباشرة:** في معلم متعامد ممنظم، إذا كان مستقيمان متعامدين، فإن جداء ميلهما يساوي $-1$ ($a \times a' = -1$). * **الخاصية العكسية:** إذا كان جداء ميلي مستقيمين يساوي $-1$، فإن المستقيمين متعامدان. * **ميل المستقيم العمودي:** ميل المستقيم العمودي هو مقابل مقلوب ميل المستقيم الأول ($a' = -\frac{1}{a}$).

# ملخص درس: مبرهنة فيثاغورس ## 1. مبرهنة فيثاغورس المباشرة تُستخدم مبرهنة فيثاغورس المباشرة لحساب أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية. * **النص الأساسي:** إذا كان مثلث قائم الزاوية، فإن مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. * **الصيغة الرياضية:** إذا كان $ABC$ مثلثاً قائم الزاوية في $A$، فإن: $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$ ### أمثلة وتطبيقات عددية: * **تمرين 1:** ليكن $ABC$ مثلثاً قائم الزاوية في $A$ حيث $AB = 3\text{ cm}$ و $AC = 4\text{ cm}$. * **الحل:** $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ إذن $BC = 5\text{ cm}$. * **تمرين 2:** ليكن $DEF$ مثلثاً قائم الزاوية في $D$ حيث $EF = 5\text{ cm}$ و $DE = 2\sqrt{6}\text{ cm}$. * **الحل:** $EF^2 = DE^2 + DF^2 \implies 5^2 = (2\sqrt{6})^2 + DF^2 \implies 25 = 24 + DF^2 \implies DF^2 = 1$ وبالتالي $DF = 2\text{ cm}$ (وفقاً لنص المورد). * **تمرين 3:** ليكن $ABC$ مثلثاً متساوي الساقين وقائماً الزاوية في $A$ حيث $AC = 3\text{ cm}$. * **الحل:** $BC^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ أي $BC^2 = 18$. --- ## 2. مبرهنة فيثاغورس العكسية تُستخدم مبرهنة فيثاغورس العكسية للتحقق وإثبات أن مثلثاً ما هو مثلث قائم الزاوية. * **النص الأساسي:** إذا كان في مثلث مجموع مربعي طولي ضلعي يساوي مربع طول الضلع الثالث، فإن هذا المثلث قائم الزاوية (في الرأس المقابل للضلع الثالث). * **الصيغة الرياضية:** إذا كان في مثلث $ABC$ العلاقة التالية محققة: $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$ فإن هذا المثلث قائم الزاوية في $A$. ### تطبيق عددي: * **تمرين:** ليكن $ABC$ مثلثاً حيث $AB = 6\text{ cm}$، $AC = 8\text{ cm}$، و $BC = 10\text{ cm}$. لإثبات أن المثلث قائم الزاوية في $A$: * نحسب مجموع مربعي الضلعين: $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. * نحسب مربع الضلع الثالث: $BC^2 = 10^2 = 100$. * بما أن $AB^2 + AC^2 = BC^2$ (حيث $36 + 64 = 100$), إذن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$. --- ## 3. تمارين وتطبيقات مقترحة في المورد يتضمن المورد مجموعة من التمارين التطبيقية لدعم الفهم: * **التمرين 1:** مستطيل $MAHT$ و $A$ نقطة من $[HT]$ حيث $HT = 3$، $IT = 1$، و $AH = \sqrt{3}$. المطلوب حساب $MI$، $AI$ و $MA$، وتبيان أن المثلث $MAI$ قائم الزاوية. * **التمرين 2:** مثلث متساوي الأضلاع $ABC$ حيث $AC = 7$. المطلوب حساب الارتفاع $AH$. * **التمرين 3:** مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية $JCD$، مع إنشاء المربع $CDAB$ خارجه. المطلوب إنشاء الشكل وبيان أن $LA = 2AB$ و $I$ منتصف $[DF]$. * **التمرين 4:** مثلث $ABC$ حيث $H \in [BC]$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$، وحيث $BH = 3$ و $CH = 4$. المطلوب تحديد ما إذا كان المثلث قائم الزاوية مع التعليل. * **التمرين 5:** مثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية $ABC$ في $A$ حيث $AH = \sqrt{3}$ ($H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(BC)$). المطلوب حساب $BC$ ثم حساب $AC$. * **التمرين 6:** إنشاء قطعة طولها $2\sqrt{3} + \sqrt{3}$ ثم قطعة طولها $\sqrt{5}$، وملاحظة النتيجة. * **التمرين 7:** مثلث $ADE$ قائم الزاوية في $E$، $F$ نقطة من $[DE]$ و $I$ منتصف $[DF]$. المطلوب إنشاء الشكل وبيان العلاقة بين $AD^2$ و $AF^2$.

# ملخص درس: مبرهنة طاليس ## 1. معلومات عامة وتوجيهات تربوية * **المستوى الدراسي:** الثالثة ثانوي إعدادي. * **السياق التعليمي:** تُقدم "مبرهنة طاليس" كامتداد وتتمة لما درسه التلاميذ في السنة الثانية إعدادي، وتشكل فرصة لتعميق مفهوم التناسبية. * **المكتسبات القبلية:** * تقسيم قطعة إلى قطع متقايسة، المثلثات المتشابهة والمتقايسة، التماثل المركزي، الحساب المثلثي. * الهندسة الفضائية (أوضاع التوازي أو التلاقي)، المعادلات، المتجهات والإزاحة، تقنيات الحساب العددي، التحاكي، والبصريات في العلوم الفيزيائية. * **الكفايات المستهدفة:** * معرفة واستعمال مبرهنة طاليس المباشرة والعكسية في وضعيات مختلفة. * إدراك أهمية ترتيب النقط من خلال دراسة الإنشاءات الهندسية (إنشاء طول يكون رابعاً متناسباً لثلاثة أطوال، أو واسطاً هندسياً لطولين). --- ## 2. مبرهنة طاليس المباشرة * **التمهيد والأشطة:** تُدرس عبر وضعيات هندسية تتضمن مستقيمين $(D)$ و $(\Delta)$ متقاطعين في نقطة $A$، ونقطاً تنتمي إليهما، مع دراسة حالات التوازي بين المستقيمين $(MN)$ والمستقيم $(BC)$. * **نص الخاصية:** ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين متقاطعين في نقطة $A$. إذا كانت $M$ و $B$ نقطتين من المستقيم $(D)$ تختلفان عن $A$، وكانت $N$ و $C$ نقطتين من المستقيم $(\Delta)$ تختلفان عن $A$؛ وإذا كان المستقيمان $(MN)$ و $(BC)$ متوازيين ($(MN) // (BC)$)، فإن النسب تكون متساوية وفق العلاقة: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$ --- ## 3. مبرهنة طاليس العكسية * **التمهيد والأشطة:** تُستثمر للبرهنة على توازي مستقيمين انطلاقاً من تساوي نسب أطوال القطع وتوافق ترتيب النقط. * **نص الخاصية:** ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين متقاطعين في نقطة $A$. إذا كانت $M$ و $B$ نقطتين من المستقيم $(D)$ تختلفان عن $A$، و $N$ و $C$ نقطتين من المستقيم $(\Delta)$ تختلفان عن $A$؛ وكانت النقط $A$ و $M$ و $B$ لها نفس ترتيب النقط $A$ و $N$ و $C$، وكانت النسبة $\frac{AM}{AB}$ تساوي النسبة $\frac{AN}{AC}$، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان ($(MN) // (BC)$). * **ملاحظات هامة للتطبيق:** * عند تطبيق خاصية طاليس العكسية، يجب الانتباه والتحقق من ترتيب النقط. * تُستعمل خاصية طاليس العكسية أساساً للبرهنة على التوازي بين المستقيمين.

تنزيل فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي للدورة الثانية-1 PDF يمكنك تنزيل فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي للدورة الثانية-1 بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

**ملخص فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي (الدورة الأولى)** **تقديم عام:** يحتوي المورد على نموذجين لفرض محروس في مادة الرياضيات مخصص للسنة الثالثة إعدادي، ويغطي محاور أساسية في الحساب الجبري، القوى، والكتابة العلمية، إضافة إلى مسائل التناسبية. --- ### المحور الأول: الحساب العددي والعمليات * **القيم المطلقة والكسور:** يتم إجراء حسابات تتضمن قيمًا مطلقة (مثل $|-4,5| + |+4,1| - 2,8$ و $|-4,2| + |+4,1| - 2,4$)، وعمليات جمع على الأعداد الكسرية (مثل $\frac{3}{5} + \frac{4}{8}$). * **القوى والكتابة العلمية:** * تبسيط تعابير كسرية تحتوي على قوى العدد 10 (مثل العدد $K = \frac{a \times 10^5 \times 0,006}{a \times 10^4}$ والنموذج المرتبط به بـ $0,003$). * كتابة أعداد عشرية وصحيحة كتابة علمية (مثل: $0,006$، $3000000$، $0,003$، $6000000$). * استنتاج الكتابة العلمية للتعابير العددية بعد تبسيطها. --- ### المحور الثاني: النشر، التبسيط والتعميل باعتبار $x$ عددًا حقيقيًا، يتناول المورد دراسة تعابير جبرية متعددة ($A$، $B$، $C$، $D$) وفق النماذج التالية: 1. **النموذج الأول:** * $A = x(x+2) + x(x-3)$ * $B = (x+6)^2$ * $C = x(x+3) - x - 3$ * $D = x^2 - 10x + 25$ 2. **النموذج الثاني:** * $A = x(x-2) + x(x+3)$ * $B = (x+3)^2$ * $C = x(x+4) - x - 4$ * $D = x^2 - 12x + 36$ * **المهام المطلوبة:** * نشر وبسط التعابير $A$ و $B$ و $C$. * تعميل التعابير $A$ و $B$ و $C$ و $D$. --- ### المحور الثالث: التناسبية * **مسائل التناسب:** إيجاد عددين حقيقيين $x$ و $y$ علما أنهما متناسبان على التوالي مع العددين 3 و 2 (أو 5 و 4 في النموذج الثاني)، مع توفر علاقة الفارق بينهما ($x - y = 7$).

# ملخص درس: المتطابقات الهامة والنشر والتعميل (السنة الثالثة إعدادي) ## 1. بطاقة الدرس ومكتسباته * **العنوان:** المتطابقات الهامة (ضمن درس النشر والتعميل). * **المكتسبات القبلية:** الأسبقية في العمليات، النشر والتعميل، الفيزياء. * **القدرات المستهدفة:** توظيف المتطابقات الهامة في الاتجاهين، حل المعادلات، وتوظيفها في الدوال. * **الوسائل الديداكتيكية:** الكتاب المدرسي، السبورة، الطباشير، المسطرة، الكوس. --- ## 2. النشر والتعميل ### أ. التعاريف الأساسية * **النشر:** هو كتابة مجموع أو فرق على شكل جداء. * **التعميل:** هو كتابة جداء على شكل مجموع أو فرق. ### ب. الخاصيات إذا كانت $k$ و $a$ و $b$ أعداداً حقيقية، فإن: * $k(a + b) = k \times a + k \times b$ * $k(a - b) = k \times a - k \times b$ وإذا كانت $a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداداً حقيقية، فإن نشر جداء مجموعين يتم كالتالي: * $(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$ ### ج. أمثلة تطبيقية * **أمثلة النشر:** * $A = \sqrt{5}x(x + 2) = \sqrt{5}x \times x + \sqrt{5}x \times 2 = \sqrt{5}x^2 + 2\sqrt{5}x$ * $B = 2(x - 5) = 2 \times x - 2 \times 5 = 2x - 10$ * **أمثلة التعميل:** * $A = x^2 - 3x = x \times x - 3 \times x = x(x - 3)$ * $B = 2y - 6 + xy - 3x = 2(y - 3) + x(y - 3) = (2 + x)(y - 3)$ --- ## 3. المتطابقات الهامة ### أ. الخاصيات إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين، فإن: 1. **مربع مجموع:** $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ 2. **مربع فرق:** $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 3. **جداء مجموع وفرق:** $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$ ### ب. أمثلة تطبيقية * **نشر تعبير باستخدام المتطابقات الهامة:** $$(y - 3)^2 = y^2 - 2 \times 3 \times y + 3^2 = y^2 - 6y + 9$$

# الهندسة الفضائية: المساحات والحجوم ## 1. تعامد مستقيم ومستوى * **تعريف:** يكون المستقيم $(D)$ عمودياً على المستوى $(P)$ في نقطة $O$ إذا كان عمودياً في النقطة ذاتها على مستقيمين من $(P)$ متقاطعين في $O$. * **نتيجة:** إذا تعامد مستقيم مع مستوى، فإنه يكون عمودياً على جميع المستقيمات الضمنية الموجودة ضمن ذلك المستوى. * **ملاحظة:** تبقى جميع خصائص الهندسة المستوية صحيحة في كل مستوى في الفضاء. ## 2. توازي مستقيم ومستوى * إذا لم يشترك المستقيم $(D)$ مع المستوى $(P)$ في أي نقطة، أو إذا كان $(D)$ ضمن $(P)$، فإن $(D)$ يوازي $(P)$. ## 3. مبرهنة فيثاغورس في الفضاء * **مبرهنة فيثاغورس المباشرة:** تُطبق في المثلثات القائمة الزاوية الناتجة عن التقاطعات العمودية في المجسمات (مثل متوازي المستطيلات القائم)، حيث يُحسب الوتر تربيعاً بدلالة مجموع مربعي الضلعين الآخرين (مثال: $BH^2 = DB^2 + DH^2$). * **مبرهنة فيثاغورس العكسية:** تُستخدم لإثبات أن مثلثاً ما في الفضاء قائم الزاوية، وذلك بتحقيق متساوية فيثاغورس بين أطوال أضلاعه. ## 4. خاصية طاليس في الفضاء * **خاصية طاليس المباشرة:** إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث أو مستقيمين في مستوى (ضمن شروط التوازي مثل $(EF)//(CD)$)، تشكل نسب متناسبة بين الأطوال (مثال: $\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{CD}$). * **خاصية طاليس العكسية:** تُستخدم لإثبات توازي مستقيمين في الفضاء بناءً على تساوي النسب بين الأطوال المتقابلة. ## 5. حساب الحجوم والمساحات * **الموشور القائم:** * الحجم: $V = B \times h$ (حيث $B$ مساحة القاعدة و $h$ الارتفاع). * المساحة الكلية: $S = 2B + ph$ (حيث $p$ محيط القاعدة). * **متوازي المستطيلات:** * الحجم: $V = a \times b \times c$ * المساحة الكلية: $S = 2(ab + bc + ca)$ * **المكعب:** * الحجم: $V = a^3$ * المساحة الكلية: $S = 6a^2$ * **الهرم:** * الحجم: $V = \frac{1}{3} B \times h$ ## 6. التكبير والتصغير في الفضاء * يُستخرج شكل مشابه لشكل أصلي بضرب أبعاده في عدد حقيقي $k$ موجب قطعا ويخالف 1: * **التكبير:** عندما يكون $k > 1$. * **التصغير:** عندما يكون $0 < k < 1$ (نسبة التصغير $k$). * **تأثير المعامل $k$ على القياسات:** * تُضرب الأطوال في $k$. * تُضرب المساحات في $k^2$. * يُضرب الحجم في $k^3$.

# النظمات: نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين ## 1. تعريف النظمة تُكتب نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين $x$ و $y$ على الشكل التالي: $$\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \end{cases}$$ حيث $a, b, c$ و $a', b', c'$ أعداد حقيقية، وحيث $x$ و $y$ هما المجهولان الحقيقيان. ويُقصد بحل النظمة تحديد الأزواج $(x; y)$ التي تحقق معادلتي هذه النظمة في آن واحد. --- ## 2. الحل الجبري لنظمة معادلتين يُعد الحل الجبري نوعين أساسيين: * **طريقة التعويض:** تعتمد على استخراج أحد المجهولين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته في المعادلة الأخرى لحساب المجهول الأول، ومن ثم استنتاج المجهول الثاني. * **طريقة التآلفية الخطية:** تعتمد على ضرب طرفي إحدى المعادلتين أو كلتيهما في أعداد مناسبة للحصول على معاملات متقابلة لأحد المجهولين، ثم جمع المعادلتين المحصل عليهما طرفاً بطرف للتخلص من أحد المجهولين وإيجاد الآخر. --- ## 3. الحل المبياني لنظمة معادلتين يعتمد الحل المبياني على ربط النظمة بمستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$ في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$ وتحديد إحداثيات نقطة تقاطعهما: * إذا كان للمستقيمين ميلان مختلفان، فهما مستقيمان متقاطعان، وللنظمة حل وحيد هو زوج إحداثيتي نقطة تقاطع المستقيمين. * **ملاحظات هامة:** * **إذا كان للمستقيمين نفس الميل:** فهما متوازيان قطعاً، والنظمة ليس لها حل. * **إذا كان للمستقيمين نفس الميل ونفس الأرتوب عند الأصل:** فهما متوازيان منطبقان، وللنظمة ما لا نهاية من الأزواج. --- ## 4. مسائل تؤول في حلها إلى نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين لحل مسألة رياضية باستخدام النظمات، تتبع المراحل التالية: 1. **اختيار المجهولين:** تحديد المتغيرات المراد حسابها (مثل عدد التلاميذ وعدد الأساتذة). 2. **صياغة النظمة:** ترجمة معطيات المسألة إلى معادلتين رياضياتين تشكلان النظمة. 3. **حل النظمة:** تطبيق إحدى الطرق الجبرية (التعويض أو التآلفية الخطية). 4. **التحقق من الحل:** التأكد من مطابقة القيم المحصل عليها لظروف وشروط المسألة والنظمة. 5. **الرجوع إلى المسألة:** تقديم الإجابة النهائية والواضحة لأسئلة المسألة المطروحة.

# ملخص درس: النشر والتعميل - المتطابقات الهامة **المستوى الدراسي:** السنة الثالثة إعدادي --- ### أولاً: التعلمات الأساسية يهدف هذا الدرس إلى تمكين المتعلم من المعارف والمهارات الرياضية الآتية: * إنجاز سلسلة من العمليات بأقواس أو بدونها على الأعداد الحقيقية، وذلك بالاعتماد على تقنيات النشر والتعميل. * توظيف المتطابقات الهامة في الاتجاهين؛ لنشر وتعميل التعابير الجبرية. * استعمال المتطابقات الهامة كأداة رياضية لحل المسائل. --- ### ثانياً: توزيعية الضرب على الجمع (النشر والتعميل) #### 1. جداء عدد في مجموع أو فرق تخضع عملية ضرب عدد حقيقي في مجموع أو فرق للقواعد التوزيعية الآتية: * $a(b + c) = ab + ac$ * $a(b - c) = a[b + (-c)] = ab + a(-c) = ab - ac$ #### 2. جداء مجموعين تُحدد خاصية نشر جداء مجموعين وفرقهما على النحو التالي: * $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ * $(a + b)(c - d) = (a + b)[c + (-d)] = ac + a(-d) + bc + b(-d) = ac - ad + bc - bd$ * $(a - b)(c + d) = [a + (-b)](c + d) = ac + ad + (-b)c + (-b)d = ac + ad - bc - bd$ * $(a - b)(c - d) = [a + (-b)][c + (-d)] = ac + a(-d) + (-b)c + (-b)(-d) = ac - ad - bc + bd$ #### 3. تطبيقات وتمارين * **النشر والتبسيط:** * $3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ * $(3x - 1) \times (-4) = 3x \times (-4) - 1 \times (-4) = -12x + 4$ * $(3x - 5)(x - 2) = 3x \times x - 3x \times 2 - 5 \times x + 5 \times 2 = 3x^2 - 6x - 5x + 10 = 3x^2 - 11x + 10$ * **التعميل:** * $x^2 + 4x = x \times x + x \times 4 = x(x + 4)$ * $a^2b - ab^2 = ab \times a - ab \times b = ab(a - b)$ * $x(x + 2) - x - 2 = x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)x - (x + 2) \times 1 = (x + 2)(x - 1)$ --- ### ثالثاً: المتطابقات الهامة #### 1. مربع مجموع عددين * **القاعدة:** $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(\frac{1}{2}x + 3)^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + 2 \times \frac{1}{2}x \times 3 + 3^2 = \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$$ * **تطبيق التعميل:** $$9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$$ #### 2. مربع فرق عددين * **القاعدة:** $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$$ * **تطبيق التعميل:** $$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2 = (x - 2)^2$$ #### 3. جداء مجموع عددين في فرقهما * **القاعدة:** $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(2x + \sqrt{5})(2x - \sqrt{5}) = (2x)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4x^2 - 5$$ * **تطبيق التعميل:** $$9y^2 - 16 = (3y)^2 - 4^2 = (3y + 4)(3y - 4)$$

# المعلم في المستوى - إحداثيتا نقطة - إحداثيتا متجهة ## 1. المعلم في المستوى - **تعريف المعلم:** نعتبر مستقيمين $(D)$ و $(D')$ متعامدين في نقطة $O$ ومدرجين، حيث وحدة تدريج المستقيم $(D)$ هي $OI$ ووحدة تدريج المستقيم $(D')$ هي $OJ$. يُسمى المستوى المنسوب إلى هذا المعلم بمعلم متعامد $(O, I, J)$. - **عناصر المعلم:** - النقطة $O$ تسمى أصل المعلم. - المستقيم $(OI)$ يسمى محور الأفاصيل. - إذا كان $OI = OJ$ (أي المسافتان متساويتان)، يُسمى المعلم "معلم متعامد ممنظم". ## 2. إحداثيتا نقطة - كل نقطة $M$ في المستوى مرتبطة بزوج $(x, y)$ يسمى زوج إحداثيتي النقطة $M$ ونكتب $M(x, y)$، حيث: - $x$ يسمى أفصول النقطة $M$. - $y$ يسمى أرتوب النقطة $M$. ## 3. إحداثيتا متجهة واستقامية النقط - **إحداثيتا متجهة:** إذا كانت $A(a, b)$ و $B(c, d)$ نقطتين في المستوى، فإن إحداثيتي المتجهة $\vec{AB}$ هما: $$\vec{AB}(c - a, d - b)$$ - **تساوي متجهتين:** متجهتان متساويتان لهما نفس الإحداثيات. - **استقامية النقط:** لتكن النقط $M$ و $N$ و $P$، إذا كانت إحداثيات المتجهتين $\vec{MN}$ و $\vec{MP}$ ترتبط بعلاقة مضاعفة (مثل $\vec{MP} = 3\vec{MN}$)، فإن النقط $M$ و $N$ و $P$ تكون مستقيمية (شرط استقامية النقط). ## 4. إحداثيتا منتصف قطعة - إذا كانت النقطة $M(x, y)$ هي منتصف القطعة $[AB]$ حيث $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$، فإن إحداثيتي منتصف القطعة تحسبان بقاعدة نصف مجموع أفصولي الطرفين ونصف مجموع أرتوبي الطرفين: $$x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y = \frac{y_A + y_B}{2}$$ ## 5. المسافة بين نقطتين - في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم، تُحسب المسافة بين نقطتين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ (اعتماداً على مبرهنة فيتاغورس المباشرة في مثلث قائم الزاوية) بالعلاقة: $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$