math 3ac pdf

# ملخص درس: المعادلات والمتراجحات (Équations et inéquations) ## أولاً: معادلات الجداء المعدوم (Équations « produit ») * **قاعدة الجداء المعدوم:** إذا كان $ab = 0$ (حيث $a$ و$b$ عددان أو تعبيران جبريان)، فإن: $a = 0$ أو $b = 0$. * **التعريف:** معادلة الجداء المعدوم هي معادلة تكتب على الشكل $(ax + b)(cx + d) = 0$، حيث $a$، $b$، $c$ و$d$ أعداد معلومة. * **طريقة الحل:** تُحل كل معادلة على حدة ($ax + b = 0$ أو $cx + d = 0$)، مع مراعاة كتابة مجموعة الحلول $S$ بترتيب تصاعدي للأعداد. --- ## ثانياً: المعادلات المربعة (Équations carrées) * **الخاصية الأولى:** المعادلة $x^2 = a$ (حيث $a$ عدد موجـب) تقبل حليْن متمايزين هما: $\sqrt{a}$ و $-\sqrt{a}$. * **الخاصية العامة لحل المعادلة $x^2 = a$:** * تقبل **حليْن بالضبط** عندما يكون $a > 0$. * تقبل **حلاً واحداً بالضبط** عندما يكون $a = 0$. * **لا تقبل أي حل** عندما يكون $a$ سالباً. --- ## ثالثاً: معادلات أكثر تعقيداً ### 1. معادلات الدرجة الأولى **خطوات الحل:** 1. التخلص من الأقواس (عبر النشر إن وجد). 2. تجميع حدود المتجه $x$ في الطرف الأيسر وتطبيق مبدأ الميزان لإلغائها من الطرف الأيمن. 3. تجميع الأعداد الثابتة في الطرف الأيمن. 4. تبسيط العملية النهائية للحصول على قيمة $x$ وحدها. 5. كتابة مجموعة الحلول النهائية $S$. ### 2. المعادلات التي تتطلب التحويل (التعميل، النشر أو الاختزال) في بعض الحالات، يُلجأ إلى تبسيط المعادلة للوصول إلى نوع مألوف عبر: * **التعميل:** باستخدام المتطابقات الهامة (مثل المتطابقة الهامة الثالثة لتحويل الفرق إلى جداء معدوم). * **النشر والتخفيض:** لجمع الحدود المتشابهة وترتيب المعادلة قبل حلها. --- ## رابعاً: المتراجحات (Inéquations) ### 1. المتفاوتة والتمثيل المبياني يُعبّر عن مجموعة حلول متراجحة بمجال تُمثّل حلوله على مستقيم مدرج. يُراعى اتجاه القوس نسبةً للرمز المستخدم ($$)، حيث يتجه القوس نحو الحلول الممكنة عندما يكون الرمز متضمناً للتساوي ($\le$ أو $\ge$). ### 2. حل المتراجحة تتبع نفس خطوات حل المعادلات مع فارقين أساسيين: * **تغيير اتجاه رمز المتراجحة** عند القسمة أو الضرب في عدد سالب. * **التمثيل البصري** للحلول على مستقيم مدرج. --- ## خامساً: حل المسائل تتم معالجة المسائل الرياضية وفق منهجية منتظمة مكونة من أربع مراحل أساسية: 1. **اختيار المجهول:** تعيين الرمز $x$ ليدل على العنصر المراد بحثه. 2. **صياغة المعادلة أو المتراجحة:** تحويل معطيات المسألة إلى علاقة رياضية. 3. **حل المعادلة أو المتراجحة** استناداً للواعد الجبرية. 4. **جملة الاستنتاج:** صياغة الإجابة النهائية بعبارة واضحة ودقيقة.

# ملخص درس: معادلة المستقيم ## 1. معادلة المستقيم في أي معلم، تقبل كل مستقيم معادلة مختصرة من الشكل: $y = ax + b$ حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان. وتُصنّف الحالات إلى ثلاث: - **مستقيم غير موازي لمحور الأراتيب:** حيث $a \neq 0$ و $b \neq 0$، وتكون معادلته: $y = ax + b$. - **مستقيم غير موازي لمحور الأفاصيل:** حيث $a = 0$ و $b \neq 0$، وتكون معادلته: $y = b$. - **مستقيم موازي لمحور الأراتيب (عمودي):** يقبل معادلة من الشكل: $x = k$ (حيث $k$ عدد حقيقي). ## 2. تحديد معادلة مستقيم لتحديد معادلة مستقيم، يُكتفى بمعرفة إحداثيتي نقطتين $A(x_A ; y_A)$ و $B(x_B ; y_B)$ وحساب: - **المعامل الموجه $a$ للمستقيم $(AB)$:** $$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ - **الأرطوب عند الأصل $b$:** $$b = y_A - ax_A$$ ## 3. المستقيمات المتوازية في معلم $(O, I, J)$، يكون المستقيم الذي معادلته $y = ax + b$ والمستقيم الذي معادلته $y = a'x + b'$ متوازيين إذا وفقط إذا كان $a = a'$؛ أي أن مستقيمين يكونان متوازيين إذا وفقط إذا تساوت معاملاتهما الموجهة.

# ملخص الدرس: الحساب المثلثي (Trigonométrie) ### 1. الإطار المفاهيمي ومبرهنة فيثاغورس تُبنى دراسة الحساب المثلثي على مكتسبات المثلث القائم الزاوية؛ **ممّا** يتطلب استحضار مبرهنة فيثاغورس المباشرة لحساب الأطوال المجهولة، **كما** تُستعمل مبرهنتها العكسية (ومعكوسها النقيض) للتحقق مما إذا كان المثلث قائماً أم لا من خلال مقارنة مربعات أطوال أضلاعه. ### 2. المصطلحات والتعاريف الأساسية في أي مثلث قائم الزاوية، يحمل كل ضلع تسمية نوعية خاصة استناداً إلى الزاوية الحادة المحددة: * **الوتر (L'hypoténuse):** هو الضلع الواقع في مواجهة الزاوية القائمة، **ويُعدّ** الضلع الثابت الوحيد بغض النظر عن الزاوية المختارة. * **الضلع المقابل (Le côté opposé):** هو الضلع الكائن في "وجه" أو مقابل الزاوية المعنية. * **الضلع المحاذي (Le côté adjacent):** هو الضلع الذي يشكل الزاوية رفقة الوتر. **وممّا يجدر ذكره** أن هذا الجهاز الاصطلاحي لا يوجد ولا يصح إلا داخل المثلث القائم الزاوية. ### 3. النسب المثلثية للزاوية الحادة تعتمد النسب المثلثية على نسب أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية بالنسبة لزاوية حادة معينة ($D$): * **جيب تمام الزاوية (Cosinus):** يُعرّف بأنه خارج قسمة طول الضلع المحاذي للأجل على طول الوتر ($\cos D = \frac{\text{الضلع المحاذي}}{\text{الوتر}}$). * **جيب الزاوية (Sinus):** يُعرّف بأنه خارج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر ($\sin D = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}}$). * **ظل الزاوية (Tangente):** يُعرّف بأنه خارج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الضلع المحاذي لها ($\tan D = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المحاذي}}$). **وفي سبيل** تيسير حفظ هذه التعريفات، يُعتمد الوسيط الميموتقني العالمي **«Soh-Cah-Toa»** حيث: * **Soh:** Sinus = Opposé / Hypoténuse * **Cah:** Cosinus = Adjacent / Hypoténuse * **Toa:** Tangente = Opposé / Adjacent **على كل حال**، يُشترط دائماً قبل الشروع في الحساب بالآلة الحاسبة التحقق من ضبطها على وضع الدرجات (Degree / ظهور حرف "D" على الشاشة). ### 4. تطبيقات الحساب المثلثي في قياس الأطوال والزوايا * **حساب طول ضلع:** عند توفر قياس زاوية حادة وطول ضلع معلوم في مثلث قائم الزاوية، **تُستعمل** العلاقات المثلثية الموافقة (الجيب، الجيب تمام، أو الظل) لحساب الأطوال المجهولة باستعمال الجداء المتصالب والتقريب إلى حدود العشر. * **حساب قياس زاوية حادة:** **أمّا** عند معرفة طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية، فيمكن تحديد قياسات الزوايا الحادة بدقة باستخدام الدوال العكسية للنسب المثلثية عبر الآلة الحاسبة.

# ملخص الدرس: المتجهات والإزاحة (Translations et vecteurs) ## 1. مفهوم المتجهة تعتمد دراسة المتجهات على مكتسبات السلك الإعدادي المتعلقة بمتوازيات الأضلاع والإزاحة، وتُعنى بالتعرف على نقط متخاطبة (Homologues) ناتجة عن نفس الإزاحة ضمن أزواج من النقاط مثل $(A, A'), (B, B'), (C, C')\dots$ * **تعريف المتجهة:** يُعبر عن الإزاحة التي تحول $A$ إلى $A'$ وتحول $B$ إلى $B'$ وتحول $C$ إلى $C'$ بالرمز $\vec{u} = \vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'} = \dots$ حيث تشكل هذه الأزواج ممثلات (Représentants) للمتجهة $\vec{u}$. * **خصائص المتجهة:** تُحدد المتجهة $\vec{AB}$ (حيث $A$ و$B$ نقطتان متميزتان) بثلاث خصائص أساسية: 1. **الاتجاه (Direction):** اتجاه المستقيم $(AB)$. 2. **المنحى (Sens):** من النقطة $A$ نحو النقطة $B$. 3. **الطول أو المعيار (Longueur ou norme):** طول القطعة $[AB]$. * يُطلق على النقطة $A$ اسم **أصل** المتجهة، وعلى النقطة $B$ اسم **طرف** المتجهة. --- ## 2. تساوي متجهتين والمتجهات المتعاكسة * **تساوي متجهتين:** تُعتبر المتجهتان $\vec{u}$ و$\vec{v}$ متساويتين إذا كان لهما نفس الاتجاه، ونفس المنحى، ونفس الطول. * **المتجهة المقابلة:** إذا كانت $A$ و$B$ نقطتين متميزتين، فإن للمتجهة $\vec{BA}$ نفس اتجاه وطول المتجهة $\vec{AB}$ ولكن بمنحى معاكس، وتسمى المتجهة المقابلة ويرمز لها بـ: $\vec{BA} = -\vec{AB}$. * **الارتباط بمتوازي الأضلاع ومنتصف القطعة:** - إذا كانت المتجهتان $\vec{AB}$ و$\vec{CD}$ متساويتين، فإن الرباعي $ABDC$ متوازي أضلاع (قد يكون مسطحاً)، والعكس صحيح. - إذا كانت المتجهتان $\vec{AB}$ و$\vec{CD}$ متساويتين، فإن القطعتين $[AD]$ و$[BC]$ لهما نفس المنتصف، والعكس صحيح (وكذلك الشأن بالنسبة للمتجهتين $\vec{AC}$ و$\vec{BD}$). - يُعبر عن كون $I$ منتصف القطعة $[AB]$ بالعلاقة: $\vec{AI} = \vec{IB}$. --- ## 3. إنشاء نقطة معرفة بمعلمة متجهة لإنشاء النقطة $D$ بحيث $\vec{AB} = \vec{CD}$ (حيث $A$ و$B$ و$C$ ثلاث نقاط من المستوي): * **على شبكة تربيعية (Sur un quadrillage):** تعيين المنطقة التقريبية لوقوع النقطة $D$ ثم استخدام التربيعات لإنشاء الرأس الرابع لمتوازي الأضلاع $ABDC$. * **على ورق أبيض (Sur du papier blanc):** تعيين المنطقة التقريبية لوقوع $D$ (المرحلة الأولى)، ثم استخدام البركار لإنشاء الرأس الرابع لمتوازي الأضلاع $ABDC$ (المرحلة الثانية: رسم قوس دائرة مركزه $C$ شعاعه $AB$، وقوس ثاني مركزه $B$ شعاعه $AC$). --- ## 4. مجموع متجهتين وعلاقة شال (Relation de Chasles) * **مجموع متجهتين:** تركيبة إزاحتين متجهتيهما $\vec{u}$ و$\vec{v}$ هي إزاحة يسمى متجهتها مجموع المتجهتين $\vec{u}$ و$\vec{v}$، ويرمز لها بـ $\vec{u} + \vec{v}$. * **علاقة شال:** إذا كانت $\vec{AB}$ ممثلة للمتجهة $\vec{u}$ و$\vec{BC}$ ممثلة للمتجهة $\vec{v}$، فإننا نكتب: $$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$ وتعني إزاحة المتجهة $\vec{AB}$ تليها إزاحة المتجهة $\vec{BC}$ تكافئ إزاحة مباشرة بالمتجهة $\vec{AC}$. * **المتجهة المنعدمة:** بالنسبة لنقطتين متميزتين $A$ و$B$، لدينا حسب علاقة شال: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA}$ (إزاحة منعدمة). وتسمى المتجهة $\vec{AA}$ بالمتجهة المنعدمة ويرمز لها بـ $\vec{0} = \vec{AA}$. * **طرق إنشاء مجموع متجهتين (لإنشاء $B$ بحيث $\vec{AB} = \vec{u} + \vec{v}$ انطلاقا من $A$):** 1. **بطريقة "رأس برأس" (Bout à bout):** بناء النقطة $M$ بحيث $\vec{AM} = \vec{u}$، ثم بناء ممثل المتجهة $\vec{v}$ الذي أصله النقطة $M$؛ فيكون ممثل المتجهة $\vec{u} + \vec{v}$ هو المتجهة $\vec{AB}$. 2. **بطريقة توحيد الأصل:** بناء ممثلي المتجهتين $\vec{u}$ و$\vec{v}$ لهما نفس الأصل $A$ (طرفاهما $M$ و$N$)، ثم بناء النقطة $B$ كرأس رابع لمتوازي الأضلاع $AMBN$؛ فيكون ممثل مجموع المتجهتين هو $\vec{AB}$. --- ## 5. تركيب تماثلين مركزين (Composition de deux symétries centrales) * تركيب تماثل مركزي مركزه $A$ وتماثل مركزي مركزه $B$ (حيث $A$ و$B$ نقطتان متميزتان) هو إزاحة متجهتها $2\vec{AB}$ (ويرمز لها بـ $2\vec{AB}$ تناظراً مع الحساب العددي). --- ## محتوى البرنامج والكفاءات المستحقة (السنة الثالثة إعدادي) ### المحتوى: * المتجهات والإزاحة. * تساوي متجهتين. * تركيب إزاحتين؛ مجموع متجهتين. * تركيب تماثلين مركزين. ### الكفاءات المستجيبة: * معرفة واستعمال الكتابة المتجهية $\vec{AB} = \vec{CD}$ للتعبير عن أن الإزاحة التي تحول $A$ إلى $B$ تحول أيضاً $C$ إلى $D$. * ربط هذه الكتابة المتجهية بمتوازي الأضلاع $ABCD$ (المسطح احتمالا). * استخدام المتساوية $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ وربطها بتركيب إزاحتين. * إنشاء ممثل للمتجهة المجموع باستعمال متوازي الأضلاع. * معرفة أن صورة شكل بتركيب تماثلين مركزين متتاليين مركزيهما مختلفان هي أيضاً صورة هذا الشكل بإزاحة. * معرفة متجهة الإزاحة الناتجة عن تركيب تماثلين مركزين.

# ملخص درس: مبرهنة طاليس (Théorème de Thalès) والهوموتيسيا ## I - الهوموتيسيا (Homothéties) ### 1. التعريف الهوموتيسيا تحويل هندسي يُعرف بنقطة مركزية تسمى المركز ($O$) وعدد حقيقي يسمى النسبة ($k$). صورة نقطة $A$ عبر هوموتيسيا مركزها $O$ ونسبيتها $k$ هي: * النقطة $A'$ بحيث $A' \in [OA)$ و $OA' = k \times OA$ (إذا كانت $k > 0$). * النقطة $A'$ بحيث $A' \in [AO)$ و $OA' = -k \times OA$ (إذا كانت النسبة سالبة). ### 2. الحالات والخصائص * **النسبة والتكبير/التصغير:** * إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة أصغر من $1$: يُحصل على **تصغير** للشكل الأصلي. * إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة أكبر من $1$: يُحصل على **تكبير** للشكل الأصلي. * إذا كانت النسبة تساوي تماماً $-1$: يوافق ذلك **تماثلاً مركزياً**. * **الخصائص الهندسية:** * صورة مستقيم بواسطة هوموتيسيا هي مستقيم يوازيه. * صورة زاوية هي زاوية لها نفس القياس. * تضرب هوموتيسيا ذات نسبة $k$ جميع أطوال الشكل الأصلي في $k$ (أو في القيمة المطلقة للنسبة إن كانت سالبة). وبالتالي تكون جميع الأطوال متناسبة. * قد يكون مركز الهوموتيسيا أحد نقاط الشكل نفسه (كما في تكوينات طاليس، حيث تكون صورة الرأس مطابقة لنفسه). ### 3. تأثير الهوموتيسيا على المساحات والحجوم (المثلثات المتشابهة) * إذا تم ضرب/قسمة جميع أطوال شكل أو مجسم في عدد $k$: * تُضرب/تُقسم **المساحات** في $k^2$. * تُضرب/تُقسم **الحجوم** في $k^3$. * تبقى **قياسات الزوايا** دون تغيير. * يُطلق اسم **"مثلثين متشابهين"** على مثلثين لهما أضلاع متناسبة (وهو ما يتحقق دائماً في وضعيات طاليس). --- ## II - حساب طول باستخدام مبرهنة طاليس (Théorème de Thalès) ### النص الرياضي: إذا كان لدينا مستقيمان $(BM)$ و $(CM)$ يتقاطعان في النقطة $A$، وكان المستقيمان $(MN)$ و $(BC)$ متوازيين ((MN) // (BC))، فإن الأطوال تحقق المتساوية التالية: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$ *(أو الصيغة المرتبطة بتكوينات أخرى: $\frac{OC}{OB} = \frac{OD}{OA} = \frac{DC}{AB}$)* يُحسب الطول المجهول باستخدام متساوية النسب والجداء التبادلي (الضرب التقاطعي). --- ## III - إثبات توازي مستقيمين: العكسية لمبرهنة طاليس إذا تحققت الشروط التالية في الشكل: 1. النقط $A، M، B$ والنقط $A، N، C$ مستقيمية وبنفس الترتيب. 2. تحقق تساوي النسبتين: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$ إذن، بناءً على العكسية لمبرهنة طاليس، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ **متوازيان**. --- ## IV - إثبات عدم توازي مستقيمين: المعاكسة لمبرهنة طاليس إذا تحققت الشروط التالية في الشكل: 1. النقط $A، M، B$ والنقط $A، N، C$ مستقيمية وفي نفس الترتيب. 2. كانت نسبة الأطوال غير متساوية: $$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$$ إذن، بناءً على المعاكسة لمبرهنة طاليس، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ **ليسا متوازيين**.

# ملخص درس: مبرهنة فيثاغورس (Théorème de Pythagore) ## 22.1 المصطلحات والترميزات * **المثلث القائم الزاوية:** هو مثلث قياس إحدى زواياه الثلاث زاوية قائمة. * **الوتر (Hypoténuse):** في المثلث القائم الزاوية، هو الضلع المقابل لرأس الزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث. * **مربع عدد موجب ($a$):** هو حاصل ضرب العدد في نفسه، ويرمز له بـ $a^2 = a \times a$ (ويقرأ "أو مربع"). * *أمثلة:* $8^2 = 8 \times 8 = 64$؛ $5,3^2 = 28,09$؛ $\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$. * **المربع الكامل:** هو مربع عدد صحيح موجب (مثل الأعداد من 1 إلى 15 ومربعاتها من 1 إلى 225). ### استخدام الآلة الحاسبة * لحساب مربع عدد موجب، يتم استغلال المفتاح $\left(x^2\right)$ (مثال: $2,5^2 = 6,25$). * لحساب العدد الموجب الذي عُلم مربعه، يتم استغلال مفتاح الجذر التربيعي $\sqrt{}$ (مثال: $\sqrt{441} = 21$). --- ## 22.2 استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب طول ضلع في مثلث قائم الزاوية * **النص:** إذا كان مثلث قائم الزاوية، فإن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولَيْ ضلعَي الزاوية القائمة. ### أمثلة التطبيق: 1. **حساب طول الوتر:** في المثلث $ENT$ القائم الزاوية في $N$ (حيث $NT = 9$ و $NE = 7$): * $ET^2 = NT^2 + NE^2$ * $ET^2 = 9^2 + 7^2 = 81 + 49 = 130$ * $ET = \sqrt{130} \approx 11,4$ (طول الضلع $[ET]$ يساوي $11,4$ تقريباً). 2. **حساب طول ضلع الزاوية القائمة:** في المثلث $MAG$ القائم الزاوية في $G$ (حيث $MA = 13$ و $GA = 5$): * $MA^2 = GM^2 + GA^2$ * $13^2 = GM^2 + 5^2 \implies 169 = GM^2 + 25 \implies GM^2 = 169 - 25 = 144$ * $GM = \sqrt{144} = 12$ (طول الضلع $[GM]$ يساوي $12$). --- ## 22.3 استخدام مبرهنة فيثاغورس لإثبات أن مثلثاً ليس قائماً الزاوية * **الطريقة:** يُعتبر الضلع الأطول هو الوتر المفترض؛ وإذا لم تتساوَ قيمة مربعه مع مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فالمثلث ليس قائم الزاوية. * **مثال:** في المثلث $ABC$ (حيث $AB = 12$، $CB = 9$، $CA = 6$): * الضلع الأطول هو $[AB]$. * من جهة، $AB^2 = 12^2 = 144$. * من جهة أخرى، $CB^2 + CA^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117$. * بما أن $AB^2 \neq CA^2 + CB^2$، إذن المثلث $ABC$ ليس قائم الزاوية. --- ## 22.4 استخدام العكسية لمبرهنة فيثاغورس لإثبات أن مثلثاً قائم الزاوية * **النص:** إذا كان، في مثلث، مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي طولَيْ الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية، والضلع الأطول هو وتره. * **مثال:** في المثلث $ETM$ (حيث $MT = 20$، $EM = 16$، $ET = 12$): * الضلع الأطول هو $[MT]$. * من جهة، $MT^2 = 20^2 = 400$. * من جهة أخرى، $EM^2 + ET^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$. * بما أن $MT^2 = EM^2 + ET^2$، إذن حسب العكسية لمبرهنة فيثاغورس، المثلث $ETM$ قائم الزاوية في $E$.

# ملخص درس: نظم معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين (Systèmes de 2 équations à 2 inconnues) --- ## 1. معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين * **التعريف:** كل معادلة تُكتب على الشكل $ax + by + c = 0$ (أو $ax + by = c$) تُسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين، حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية معلومة، و $x$ و $y$ مجهولان (حيث أسس $x$ و $y$ تساوي 1). * **حل المعادلة:** هو إيجاد جميع الأزواج $(x; y)$ التي تحقق هذه المعادلة. * **خصائص الحلول:** المعادلة من هذا النوع تقبل ما لا نهاية من الحلول؛ فمثلاً المعادلة $2x - y + 3 = 0$ يمكن كتابتها على الشكل $y = 2x + 3$، وتكون حلولها على الشكل العام $(x; 2x + 3)$. * **التمثيل المبياني:** التمثيل المبياني لحلول معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين في معلم متعامد ممنظم هو عبارة عن مستقيم. --- ## 2. نظم معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين * **التعريف:** النظمة هي كتابة على الشكل: $$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$$ حيث $a, b, c, a', b', c'$ أعداد حقيقية ثابتة، و $x, y$ مجهولان. * **حل النظمة:** هو إيجاد جميع الأزواج $(x; y)$ التي تحقق المعادلتين معاً في آن واحد (تحقيقاً مشتركاً). --- ## 3. طرق حل النظمة ### أ. الطريقة المبيانية (La méthode graphique) تعتمد على تمثيل مستقيمات المعادلات في معلم متعامد ممنظم، وتحديد الحلول انطلاقاً من نقط التقاطع: 1. **حل وحيد:** إذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة $A(x; y)$، فالزوج الإحداثي لهذه النقطة هو الحل الوحيد للنظمة (مثال: التقاطع في النقطة $(1; 1)$). 2. **لا تقبل حلاً:** إذا كان المستقيمان متوازيين قطعاً (لهما نفس الميل وأرطونان مختلفان عند الأصل)، فلا توجد نقطة مشتركة وبالتالي لا تقبل النظمة أي حل. 3. **عدد غير منتهي من الحلول:** إذا كان المستقيمان منطبقين (معادلتان متكافئتان)، فإن حلول النظمة هي حلول المعادلة المشتركة. ### ب. الطرق الجبرية (Les méthodes algébriques) #### 1. طريقة التعويض (La méthode par substitution): * **المبدأ:** التعبير عن أحد المجهولين بدلالة الآخر في إحدى المعادلتين، ثم تعويضه في المعادلة الثانية. * **النتائج المحتملة:** * الحصول على حل وحيد (زوج $(x; y)$). * استحالة الحل (ظهور عبارة خاطئة رياضياً مثل $6 = 1$). * وجود عدد غير منتهي من الحلول (ظهور عبارة صحيحة دائماً مثل $0x + 2 = 2$). #### 2. طريقة التأليف الخطي (La méthode par combinaison linéaire): * **المبدأ:** ضرب طرفي كل معادلة في أعداد مختارة بعناية، بحيث عند جمع المعادلتين المحصل عليهما طرفاً لطرف، يختفي أحد المجهولين لتحديد قيمة المجهول الآخر. * **مثال تطبيقي:** حل النظمة $\begin{cases} 4x + 3y = 3 \\ 5x + 2y = -5 \end{cases}$ يُمكّن من إيجاد الحل الوحيد وهو الزوج $(-3; 5)$. --- ## 4. المسظم وربطها بحل المسائل تُوظّف نظم المعادلتين لحل مسائل واقعية وحياتية وفق الخطوات التالية: 1. **اختيار المجهولين:** تحديد المتغيرين (مثال: نرمز لسعر السندويتش بـ $x$ ولعر عصير البرتقال بـ $y$). 2. **صياغة النظمة:** تحويل معطيات المسألة النصية إلى نظام معادلتين (مثال: $\begin{cases} 4x + 5y = 88 \\ 3x + 7y = 79 \end{cases}$). 3. **حل النظمة:** باستخدام إحدى الطرق الجبرية أو المبيانية. 4. **التحقق والتفسير:** التأكد من صحة النتائج وإعطاء الاستنتاج النهائي (مثال: سعر السندويتش هو $17\text{ Dh}$ وسعر عصير البرتقال هو $4\text{ Dh}$).

# Statistiques et probabilités ## 1. المفاهيم الأساسية في الاحتمالات (Vocabulaire) * **التجربة العشوائية:** ظاهرة لا يمكن التنبؤ بنتيجتها بصفة قطعية ومؤكدة (مثل رمي نرد أو سحب قرص عشوائياً). * **المخرجات (Issues):** النتائج الممكنة لتجربة عشوائية. * **الحدث (Événement):** تجمع لنتيجة واحدة أو أكثر من مخرجات التجربة العشوائية. * **الحدث المستحيل والحدث المحقق:** الحدث المستحيل هو الذي لا يمكن أن يتحقق أبداً، بينما الحدث المحقق (الأكيد) هو الذي يتحقق دائماً. * **الأحداث غير المتوافقة (Incompatibles):** حدثان لا يمكن أن يتحققا معاً في نفس الوقت. * **الحدث العكسي ($\bar{A}$):** هو الحدث الذي يقع عندما لا يتحقق الحدث الأصلي $A$. --- ## 2. حساب الاحتمالات (Probabilité) * **التردد والابتعاد/الاقتراب:** عند تكرار تجربة عشوائية عدد مرات كبيراً جداً، تصبح فرصة تحقيق حدث ما قريبة من عدد ثابت يُعرف بـ **الاحتمال**. * **صيغة حساب الاحتمال:** يُحسب احتمال حدث معين $A$ وفق العلاقة الرياضية: $$p(A) = \frac{\text{عدد الحالات الملائمة (المواتية) للحدث } A}{\text{عدد الحالات الممكنة الكلية}}$$ * **الخصائص والخواص الأساسية:** * قيمة أي احتمال تكون دائماً محصورة بين **0 و 1**. * مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية يساوي **1**. * العلاقة بين الحدث وعكسه: $p(A) + p(\bar{A}) = 1$، ومنها يُستنتج: $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$ أو $p(A) = 1 - p(\bar{A})$. --- ## 3. التجارب ذات المرحلتين والأشجار المرجحة (À deux épreuves) * **التجارب المركبة:** تعتمد على إجراء تجربتين متعاقبتين (مثل سحب كرة من صندوق أول، ثم قرص من صندوق ثانٍ، أو تدوير عجلات متتالية). * **الأشجار المرجحة (Arbres pondérés):** تُستخدم لتمثيل جميع المسارات الممكنة لتجارب متعددة المراحل، حيث يتم ضرب الاحتمالات على طول فروع الشجرة لحساب احتمالية كل نتيجة، ومن ثَمَّ جمع احتمالات الحالات الملائمة لحساب احتمال الحدث المطلوب. --- ## 4. تطبيق عملي على الاحتمالات المركبة تعتمد التجربة على مرحلتين متتاليتين: 1. **تدوير العجلة الأولى (A):** عجلة متوازنة تسفر عن لونين؛ الأسود ($N$) أو الأبيض ($B$). بما أن زاوية الدائرة الكاملة تساوي $360^\circ$: * **احتمال الحصول على اللون الأسود $p(N)$:** الحالات الممكنة $360^\circ$، الحالات الملائمة $90^\circ$؛ إذن: $$p(N) = \frac{90}{360} = \frac{1}{4}$$ * **احتمال الحصول على اللون الأبيض $p(B)$:** الحالات الممكنة $360^\circ$، الحالات الملائمة $360 - 90 = 270^\circ$؛ إذن: $$p(B) = \frac{270}{360} = \frac{3}{4}$$ 2. **تدوير العجلة الثانية (B):** عجلة متوازنة مقسمة إلى 6 أجزاء متساوية، تسفر عن الأرقام 1، 2، أو 3. تُمثَّل كل نتيجة على شكل زوج مرتب $(A; B)$: * **احتمال الحصول على الرقم 1 $p(1)$:** الحالات الملائمة 1، الممكنة 6؛ إذن: $p(1) = \frac{1}{6}$ * **احتمال الحصول على الرقم 2 $p(2)$:** الحالات الملائمة 3، الممكنة 6؛ إذن: $p(2) = \frac{3}{6}$ * **احتمال الحصول على الرقم 3 $p(3)$:** الحالات الملائمة 2، الممكنة 6؛ إذن: $p(3) = \frac{2}{6}$ استناداً إلى شجرة الاحتمالات المرجحة، تظهر أمثلة الحساب كالتالي: * **حساب احتمال الإصابة $(N; 1)$:** $$p(N; 1) = p(N) \times p(1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$$ * **حساب احتمال الحدث $A$ ("الحصول على الرقم 2 في النتيجة"):** يتحقق عند وقوع إحدى الإصابتين $(N; 2)$ أو $(B; 2)$ينتج عن: * احتمال الإصابة $(N; 2)$: $$p(N; 2) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{6} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$$ * احتمال الإصابة $(B; 2)$: $$p(B; 2) = \frac{3}{4} \times \frac{3}{6} = \frac{9}{24}$$ * الاحتمال الإجمالي للحدث $A$: $$p(A) = p(N; 2) + p(B; 2) = \frac{3}{24} + \frac{9}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$$

# Repère dans le plan (المعلم في المستوي) ## 1. معلم المستوي * **تعريف:** يتكون معلم المستوي من مستقيمين متدرجين ومتقاطعين $(OI)$ و $(OJ)$، حيث تُمثل النقطة $O$ أصل المعلم $(O, I, J)$، ويشكل المستقيم $(OI)$ محور الأفاصيل، بينما يمثل المستقيم $(OJ)$ محور الأراتيب. ## 2. إحداثيات نقطة * **تعريف:** في معلم ممنظم $(O, I, J)$، يُقرن بكل نقطة $M$ من المستوي زوج وحيد $(x_M, y_M)$ من الأعداد الحقيقية، يُسمى زوج إحداثيات النقطة $M$، حيث يُعبّر $x_M$ عن أفصول النقطة (abscisse) و$y_M$ عن أرتوبها (ordonné). ## 3. إحداثيات منتصف قطعة * **خاصية:** في معلم ممنظم $(O, I, J)$، لتكن النقطتان $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$، وليكن $M$ منتصف القطعة $[AB]$؛ إذن، يُحدد زوج إحداثيات النقطة $M$ بالعلاقة التالية: $$\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$ ## 4. إحداثيات المتجهة وقواعد الحساب * **خاصية:** في معلم ممنظم $(O, I, J)$، لتكن النقطتان $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$؛ إذن، يُعطى زوج إحداثيات المتجهة $\overrightarrow{AB}$ بالصيغة: $$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$$ * **متجهتان متساويتان:** تكون المتجهتان $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{CD}$ غير المنعدمتين متساويتين ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$) إذا تحقق: $$x_B - x_A = x_D - x_C \quad \text{و} \quad y_B - y_A = y_D - y_C$$ * **قواعد الحساب:** لتكن $\overrightarrow{AB}(x, y)$ و $\overrightarrow{CD}(x', y')$ متجهتين، و$k$ عددا حقيقيا؛ إذن: * **مجموع متجهتين:** $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}(x + x', y + y')$ * **ضرب متجهة في عدد حقيقي:** $k\overrightarrow{AB}(kx, ky)$ ## 5. المسافة بين نقطتين في المستوي * **خاصية:** في معلم متعامد ممنظم، إذا كانت النقطتان $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$، فإن المسافة بين النقطتين $A$ و $B$ تُحسب بالعلاقة الرياضية التالية: $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ ## 6. تطبيقات وترارين أساسية يتضمن التطبيق العملي في هذا الدرس عدة محاور أساسية، تشمل: * إنشاء النقط في المستوي وفق إحداثياتها المعلومة. * حساب إحداثيات المنتصف وتحديد إحداثيات نقطة مجهولة عبر علاقات المنتصف. * التحقق من إحداثيات المتجهات وحساب المسافات بين النقط. * توظيف مفاهيم الإزاحة لتحديد صور النقط والعلاقات المتجهية المرتبطة بها (مثل العلاقة $\vec{AR} = 2\vec{AF} - \vec{BE}$).

# ملخص درس: التناسبية والدوال الخطية والمقادير ## 1. الدالة الخطية - **التعريف:** تُسمى دالة خطية كل دالة تُكتب على الشكل $f(x) = ax$، حيث $a$ عدد معلوم. - **التمثيل المبياني:** التمثيل المبياني للدالة الخطية $f(x) = ax$ هو مستقيم مَعادلته $y = ax$ ويمر من أصل المعلم. - **تحديد صيغة دالة خطية:** لتحديد صيغة دالة خطية انطلاقاً من معلومة معينة (مثل $f(5) = 6$)، نكتبها على الشكل العام $f(x) = ax$ ثم نحسب قيمة المعامل $a$ (في المثال: $5a = 6$ إذن $a = \frac{6}{5}$). --- ## 2. التناسبية - **مفهوم التناسبية:** يُقال إن مقدارين متناسبان إذا أمكن الانتقال من أحدهما إلى الآخر بالضرب دائماً في نفس العدد، ويسمى هذا العدد "معامل التناسب". - **نمذجة التناسبية:** ترتبط كل وضعية تناسبية بمعامل تناسب $p$ بدالة خطية مُعرفّة بـ $f(x) = px$. - **التحقق من جدول تناسبية:** للتحقق من أن جدولاً يمثل وضعية تناسبية، يُحسب خارج العدد الأول على الثاني في كل عمود؛ فإذا تساوت جميع الخارج فالجدول جدول تناسبية، وإذا اختلف ولو خارج واحد فلا يُعتبر جدول تناسبية. - **المنتوج التقاطعي:** يُستعمل "المنتوج التقاطعي" لإتمام جداول التناسبية وحل المسائل المر بها. - **التناسبية والتمثيلات المبيانية:** إذا كان مقدّران متناسبين، فهما يُمثلان بمستقيم يمر من أصل المعلم. وبالعكس، إذا كانت النقط مستقيمية مع أصل المعلم، فالمقداران المُمثلان متناسبان. --- ## 3. المقادير ### أ. المقادير المركبة - **مقادير الجداء:** تُحصل عليها عند إنجاز جداء مقدارين (مثل: المساحة، الحجم، والطاقة الكهربائية $E = P \times t$). - **مقادير الخارج:** تُحصل عليها عند إنجاز خارج مقدارين (مثل: السرعة، الكثافة السكانية، الكتلة الحجمية، وصبيب السائل). ### ب. السرعة المتوسطة - إذا كانت $D$ المسافة و $T$ مدة القران، فإن السرعة المتوسطة $V$ تُحسب بالعلاقة: $$V = \frac{D}{T}$$ - تعتمد وحدة السرعة على وحدات المسافة والزمن المستعملة (مثل $\text{km/h}$ أو $\text{m/s}$). وتُستعمل جداول التناسبية لتحديد السرعة المتوسطة أو المسافة المقطوعة أو المدة الزمنية. ### ج. التحويلات - يتم تحويل وحدات المقادير المركبة (مثل تحويل السرعة من $\text{km/h}$ إلى $\text{m/s}$ والعكس، أو الكتلة الحجمية من $\text{kg/m}^3$ إلى $\text{g/cm}^3$) بالاعتماد على التحويلات القياسية للوحدات واستخدام جداول التناسبية والجداء التقاطعي.