المعادلات والمتراجحات PDF

تنزيل المعادلات والمتراجحات PDF

يمكنك تنزيل المعادلات والمتراجحات بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

المعادلات والمتراجحات

1. المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

تُكتب المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد (المجهول $x$) على الشكل العام $ax = b$ (حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان)، أو بصيغ تؤول إليه مثل:

• $\sqrt{2}x = 3$
• $\sqrt{3}x = \sqrt{6}$
• $3x = -8$
• $3x + 2 = -5$

طريقة الحل: تعتمد على إضافة مقابل العدد الثابت لطرفي المعادلة أو تحويله من طرف إلى آخر مع تغيير إشارته؛ فعلى سبيل المثال في المعادلة $3x + 2 = -5$:

$3x + 2 – 2 = -5 – 2 \implies 3x = -7$

2. حل المعادلة $ax = b$

يُقصد بحل المعادلة تحديد قيم المجهول $x$ التي تحقق المساواة، وتتحدد حالات الحل بناءً على قيمة المعامل $a$:

1. إذا كان $a \neq 0$: للمعادلة حل وحيد هو $x = \frac{b}{a}$.
   • مثال: حل المعادلة $3x = -12$ هو $x = \frac{-12}{3} = -4$.
   • مثال: حل المعادلة $\sqrt{2}x = 0$ هو $x = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$.
2. إذا كان $a = 0$ و $b \neq 0$: المعادلة ليس لها حل لعدم وجود عدد حقيقي يحققها (مثل: $0 \cdot x = \sqrt{3}$).

3. معادلات تؤول إلى المعادلات من الدرجة الأولى

تتضمن هذه المعادلات تفكيك تعبيرات جبرية لإرجاعها إلى معادلات من الدرجة الأولى:

• معادلات الجداء المنعدم: مثل $(x – 3)(x + 2) = 0$. يكون جداء عددين منعدماً إذا كان أحدهما على الأقل يساوي الصفر؛ إذن:
  $x – 3 = 0$ أو $x + 2 = 0 \implies x = 3$ أو $x = -2$
  حلا المعادلة هما $3$ و $-2$.
• المتطابقات الهامة والمعادلات التربيعية: مثل المعادلة $x^2 – 6x + 9 = 0$ التي تكتب على شكل متطابقة هامة $(x – 3)^2 = 0$، ومنه حلها الوحيد هو $x = 3$.

4. منهجية حل المسائل الرياضية

تعتمد معالجة المسائل على أربع خطوات أساسية: اختيار المجهول، صياغة المعادلة، حلها، والتحقق من النتيجة. ومن نماذج المسائل التطبيقية:

1. مسألة الأجزاء والنسب: شخص أنفق $\frac{3}{10}$ ما لديه ثم أنفق $\frac{2}{7}$ من الباقي فبقي له 40 درهماً، والمبلغ الإجمالي الأصلي هو 100 درهم.
2. مسألة الأعداد المتتابعة: مجموع عددين صحيحين متتابعين يساوي 333 (العددان هما 166 و 167).
3. مسألة القياسات والمساحات: إذا زاد طول ضلع مربع بـ $3\text{cm}$ ازدادت مساحته بـ $75\text{cm}^2$ (طول ضلع المربع هو $11\text{cm}$).
4. مسألة أجور العمل: عاملان يتقاضى أحدهما 100 درهم للساعة والآخر 80 درهماً، وخلال 12 يوماً بلغ مجموع ما تقاضياه معاً 17280 درهماً، وعدد ساعات العمل اليومية هو 8 ساعات.
5. مسائل الأعمار: أحمد يكبر أخاه سمير بـ 10 سنوات، وبعد 20 سنة سيصبح مجموع عمريهما 60 سنة.