Géométrie dans l’espace PDF

تنزيل Géométrie dans l’espace PDF

يمكنك تنزيل Géométrie dans l’espace بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

ملخص درس: هندسة الفضاء (Géométrie dans l’espace)

1. الكرة والكرة المغلقة (Sphère et boule)

• الكرة: مجموعة نقاط الفضاء التي تبعد عن مركزها $O$ مسافة تساوي تمامًا شعاعها $R$ ($OA = OB = OC = R$).
• الكرة المغلقة (Boule): مجموعة نقاط الفضاء التي تبعد عن المركز $O$ مسافة أصغر من أو تساوي $R$.
• الدائرة الكبرى (Grand cercle): دائرة مركزها $O$ وشعاعها $R$.
• التمثيل الجغرافي (نموذج الكرة الأرضية):
  • القطر $[NS]$ يمثل محور القطبين (الشمالي $N$ والجنوبي $S$).
  • المريّدن (Meridien): دائرة كبرى تمر عبر القطبين (مثل خط غرينتش).
  • خط الاستواء: دائرة كبرى واقعة في مستوى عمودي على محور القطبين (تُقاس بواسطتها خطوط العرض، بينما تُقاس خطوط الطول بالنسبة للمريدين).

2. مساحة الكرة وحجم الكرة

• مساحة الكرة ذات الشعاع $R$: $4\pi R^2$ (مثال: شعاع $7\text{ cm}$ يعطي مساحة $196\pi \approx 616\text{ cm}^2$).
• حجم الكرة ذات الشعاع $R$: $\frac{4}{3}\pi R^3$ (مثال: شعاع $7\text{ cm}$ يعطي حجمًا قدره $\frac{1372}{3}\pi \approx 1437.33\text{ cm}^3$).

3. تقاطع كرة بمستوى (Section d’une sphère par un plan)

تقاطع كرة (مركزها $O$ وشعاعها $R$) بمستوى $\mathcal{P}$ عمودي على القطر $[NS]$ في النقطة $H$ (حيث $OH$ هي المسافة بين مركز الكرة والمستوى) يعطي دائرة وفق الحالات التالية:

• الحالة الأولى ($0 < OH < R$): المقطع هو دائرة مركزها $H$. المثلث $HOM$ قائم الزاوية في $H$، ويُحسب شعاعها $r$ باستخدام نظرية فيثاغورس:
  $$r = \sqrt{R^2 – OH^2}$$
• الحالة الثانية ($OH = 0$): دائرة المقطع لها نفس مركز $O$ وشعاع الكرة (دائرة كبرى)، وتقسم الكرة إلى نصفي كرة متساويين (hémisphères).
• الحالة الثالثة ($OH = R$): ينعدم شعاع المقطع (يصبح نقطة)، ويكون المستوى مماسًا للكرة في النقطة $S$.
• الحالة الرابعة ($OH > R$): المستوى لا يقطع الكرة.

4. تقاطع المجسمات الأخرى بمستوى

• الأسطوانة (Cylindre):
  • بمستوى موازٍ للقاعدة: المقطع دائرة لها نفس شعاع قاعدة الأسطوانة.
  • بمستوى موازٍ للمحور: المقطع مستطيل.
• المخروط (Cône): المقطع بمستوى موازٍ للقاعدة هو دائرة تُعد تصغيرًا لدائرة القاعدة؛ شعاع المقطع يساوي $k \times R$ حيث $k$ هو معامل التصغير.
• الهرم (Pyramide): المقطع بمستوى موازٍ للقاعدة هو مضلع ($A’B’C’D’$) يُعد تصغيرًا لمضلع القاعدة ($ABCD$)؛ معامل التصغير $k = \frac{SA’}{SA} = \dots$، وتُضرب أطوال أضلاع القاعدة في $k$ للحصول على أطوال أضلاع المقطع ($A’B’ = k \times AB$).