# ملخص درس: واسط قطعة والمتفاوتة المثلثية
## 1. المتفاوتة المثلثية
* **قاعدة أساسية:** نعتبر $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط مختلفة في المستوى:
* إذا كانت النقطة $C$ تنتمي إلى القطعة $[AB]$، فإن المسافات تحقق العلاقة:
$$AC + CB = AB$$
* إذا كانت النقطة $C$ لا تنتمي إلى القطعة $[AB]$، فإنها تشكل مثلثاً $ABC$، وتحقق المتفاوتات المثلثية بحيث يكون طول كل ضلع أصغر من مجموع طول الضلعين الآخرين:
* $AB < AC + BC$
* $AC < AB + BC$
* $BC < AB + AC$
## 2. واسط قطعة (Médiatrice d’un segment)
* **التعريف:** واسط قطعة مستقيمية هو المستقيم الذي يمر من منتصف هذه القطعة ويكون عمودياً على حاملها.
* **الخاصية المباشرة:** كل نقطة تنتمي إلى واسط قطعة تكون متساوية المسافة عن طرفي هذه القطعة (أي $ME = MF$).
* **الخاصية العكسية:** كل نقطة متساوية المسافة عن طرفي قطعة مستقيمية تنتمي إلى واسط هذه القطعة.
## 3. واسطات مثلث والدائرة المحيطة به
* **التعريف:** يُسمى واسط ضلع في مثلث واسطاً للمثلث (مثل المستقيم $(D)$ الذي يُعد واسطاً للضلع $[BC]$ في المثلث $ABC$).
* **خاصية التلاقي:** تتلاقى واسطات أضلاع أي مثلث في نقطة وحيدة (مثل النقطة $O$).
* **الدائرة المحيطة بالمثلث:** تُمثّل نقطة تقاطع واسطات المثلث مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث، وهي الدائرة التي تمر من رؤوسه الثلاثة.
# متوازي الأضلاع
## 1. تعريف متوازي الأضلاع
يُعرف متوازي الأضلاع بأنه رباعي حاملا كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين. ويُطلق على نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع اسم "مركزه".
---
## 2. خاصية القطريين
* **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي متوازي الأضلاع، فإن لقطريه نفس المنتصف؛ حيث يتقاطعان في منتصفهما (مثل تقاطع القطرين $[AC]$ و$[BD]$ في المركز $O$).
* **الخاصية العكسية:** إذا كان لرباعي قطراه لهما نفس المنتصف، فإنه يكون متوازي الأضلاع.
---
## 3. خاصية الأضلاع المتقابلة
* **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي متوازي الأضلاع، فإن كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان (مثل: $AB = CD$ و$AD = BC$).
* **الخاصية العكسية:** إذا كان لرباعي كل ضلعين متقابلين فيه متقايسان، فإنه يكون متوازي الأضلاع.
---
## 4. خاصية الزوايا المتقابلة
* **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي متوازي الأضلاع، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متقايستان.
* **الخاصية العكسية:** إذا كان لرباعي كل زاويتين متقابلتين فيه متقايستان، فإنه يكون متوازي الأضلاع.
---
## 5. ارتفاع متوازي الأضلاع
إذا كان $ABCD$ متوازي أضلاع و$H$ المسقط العمودي للنقطة $A$ على المستقيم $(CD)$، فإن القطعة $AH$ تُسمى ارتفاع متوازي الأضلاع $ABCD$.
---
## 6. خاصية إضافية
إذا كان لرباعي ضلعان متقابلان وحاملاهما متوازيين، فإنه يكون متوازي الأضلاع.
# جذاذات الرياضيات للسنة الأولى إعدادي
## 1. نبذة تاريخية حول تطور الأعداد والعمليات
استخدمت مختلف الحضارات قديماً رموزاً وطرقاً خاصّة للتعبير عن الأرقام؛ حيث استعمل الفراعنة الحروف الهيروغليفية، واليونانيون الحروف اليونانية، بينما استخدم الصينيون الحروف الغبارية. ويعود الفضل للعرب في ظهور وتمثيل الأرقام بالشكل الحالي، والمساهمة في نشر كتابة الأعداد في نظام العد العشري عبر إضافة الصفر واستعمال الكتابة الوضعية. كما ابتكر العرب العمليات الحسابية وخصوصاً الضرب الذي يعتمد على الوضع والاحتفاظ، متجاوزين الطرق الأقدم التي اعتمدت على الجموع الجزئية.
## 2. التوجيهات التربوية والكفايات المستهدفة والمكتسبات القبلية
* **المكتسبات القبلية:** تعامل التلميذ بالتعليم الابتدائي مع الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية الكسرية الموجبة، ممّا يستحسن عدم إعادة تقديمها بالمستوى نفسه.
* **الأهداف والكفايات المستهدفة:**
* التحسيس باستعمال الحروف في الحساب الجبري اعتباراً لدوره المتزايد في شتى مجالات الحياة، وتوظيفه تدريجياً في تبسيط كتابة التعابير الجبرية.
* التأكيد على الأسبقية في إنجاز العمليات.
* حساب مجموع، فرق، جداء، وخارج عددين عشريين، وتأطير خارج عددين عشريين.
* توظيف خاصيتي النشر والتعميل واستيعاب واستعمال المصطلحات الرياضية الأساسية (حد، مجموع، عامل، جداء، خارج...).
* حساب المجاميع الجبرية بدون وبأقواس، واستعمال المحسبة.
## 3. قواعد إنجاز العمليات الحسابية وترتيبها
* **العمليات بدون أقواس:** يُبدأ بإنجاز الضرب والقسمة أولاً، ثم تُتبع بالجمع والطرح.
* **العمليات بالأقواس:** تُعطى الأسبقية لما بين الأقواس (العادية والمربعة)، بدءاً من الأقواس الداخلية نحو الخارجية إلى أن يصبح التعبير بدون أقواس، مع ضبط مواقع الأقواس بدقة لضمان الصحة الرياضية.
* **حساب التعبيرات العددية:** إنجاز حسابات دقيقة لسلاسل عمليات تتضمن العمليات الأربع.
## 4. النشر، التعميل والحساب الحرفي
* **النشر (تعويض الجداء بمجموع أو فرق يساويه / الكتابة على شكل مجموع):**
لأعداد عشرية وحرفية $a$ و $b$ و $k$:
* $k \times (a + b) = ak + kb$
* $k \times (a - b) = ak - bk$
* **التعميل (تعويض المجموع أو الفرق بجداء يساويه / الكتابة على شكل جداء):**
* استخراج العامل المشترك لتحويل المجاميع الحرفية إلى جداءات (مثل $ak + kb = k \times (a + b)$ و $ak - bk = k \times (a - b)$، ومثالهما $A = 6X + 6Y$ و $B = 2,5ab - 12,5xy$).
* **تبسيط التعبيرات الجبرية:** اختزال المجاميع الجبرية المتضمنة لمتغيرات متشابهة (مثل الحروف $a, t, y, z, m$) عبر جمع وطرح معاملاتها العددية بدقة.
* **ملاحظات ترميزية:** يمكن تبسيط كتابة الجداء بحذف رمز الضرب ($\times$) وتعويضه بنقطة (.) أو بفراغ (مثل $(a+b)(a-b)$ أو $ka$ أو $k.a$).
## 5. الحساب الذهني، المحسبة والصعوبات الشائعة
* **الحساب الذهني واستعمال المحسبة:** يعتمد الحساب الذهني على تفكيك الأعداد لتسهيل الحساب؛ أمثلة:
* حساب $4.25 \times 101 = 4.25 \times 100 + 4.25 \times 1 = 425 + 4.25 = 429.25$
* حساب $2.13 \times 99 = 2.13 \times (100 - 1) = 2.13 \times 100 - 2.13 = 213 - 2.13 = 210.87$
كما يتطلب الاستعمال السليم للآلة الحاسبة إنجاز العمليات والتعامل مع القسمة غير المضبوطة وتحديد الباقي.
* **الصعوبات والأخطاء الشائعة:** تتمثل في التعامل مع الأعداد العشرية والعمليات عليها، أخطاء حساب المجاميع الجبرية بالأقواس وبدونها، والصعوبات المرتبطة بالنشر والتعميل واستعمال الصيغ في وضعيات محددة.
## 6. المسائل والوضعيات التطبيقية
* **مسألة الأعمار:** صياغة سلسلة عمليات رياضية تعبر عن وضعية مقترحة حول حساب العمر بناءً على مجموع أرجل الحيوانات المملوكة (كلاب، قطط، حمامات).
* **مسألة بطولة كرة القدم:**
* **قاعدة التنقيط:** منح 3 نقط للفريق المنتصر خارج ملعبه، نقطة واحدة في حالة التعادل، و0 نقطة في حالة الهزيمة.
* **استثمار الجدول:** إتمام بيانات جدول البطولة الرياضية (عدد المباريات، الانتصارات داخل وخارج الملعب، التعادلات، الهزائم، والمجموع الإجمالي للنقاط).
* **تحديد الفائز:** استخراج الفريق الفائز بالبطولة بناءً على مجموع النقاط المحصل عليها مع تقديم التعليل الرياضي المناسب.
### تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية
#### 1. تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية
**أ- العدد العشري النسبي:**
* **الأعداد العشرية الموجبة:** أعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $2$ ؛ $1,4$ ؛ $3,14$ ؛ $11$ ؛ $2,5$.
* **الأعداد العشرية السالبة:** أعداد مثل: $0$ ؛ $-2$ ؛ $-1$ ؛ $-0,44$ ؛ $-12$ ؛ $-2,5$.
* **ملاحظات أساسية:**
* العدد $0$ هو عدد عشري موجب وسالب في آن واحد.
* الأعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $-2,8$ ؛ $14$ ؛ $-1$ ؛ $5$ ؛ $-51$ ؛ $11...$ تسمى أعدادا صحيحة نسبية.
* العدد مثل $-2,5$ أو $-14,12$ هو عدد عشري نسبي وليس بعدد صحيح نسبي.
**ب- المستقيم المدرج:**
* **وحدة التدريج:** تدريج مستقيم يعني اختيار نقطتين منه $O$ و $I$ وإسناد العدد $0$ للنقطة $O$ والعدد $1$ للنقطة $I$، ومنه فإن وحدة التدريج هي $[OI]$.
* **خصائص المستقيم المدرج:**
* تسمى النقطة $O$ أصل المستقيم المدرج، ويسمى طول $[OI]$ وحدة التدريج.
* يُمثّل كل عدد عشري نسبي بنقطة واحدة من المستقيم المدرج.
* العدد الذي يمكن إسناده لكل نقطة يُسمى **أفصولها**.
* أفصول النقطة $A$ هو $3$، وأفصول النقطة $B$ هو $-2$.
* مسافة العدد $3$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OA]$ وتساوي $3$، ومسافة العدد $-5$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OP]$ وتساوي $5$.
* **المقابل:** العدد $2$ هو مقابل العدد $-2$ (والعدد $-2$ هو مقابل العدد $2$)، ويقال إن العددين $-2$ و $2$ متقابلان.
**ج- مقارنة عددين عشريين نسببين:**
* **مقارنة عددين مختلفين في الإشارة:** كل عدد عشري موجب أكبر من كل عدد عشري سالب غير منعدم (مثال: $-9 < 2$ ؛ $-25,44 < 1000$).
* **مقارنة عددين لهما نفس الإشارة:**
* إذا كان عددان عشريان سالبين، فإن أكبرهما هو الأقرب من نقطة الصفر (مثال: $-36 < -1$ ؛ $-1 < -2,5$ ؛ $-36 < -0,1$ ؛ $-2,5 < -1$).
* إذا كان عددان عشريان موجبان، فإن أكبرهما هو الأبعد عن نقطة الصفر.
* **الرموز المستعملة:**
* $a \le b$: تعني $a$ أصغر من أو تساوي $b$ (أي $a b$ أو $a = b$).
* أمثلة: $-6 -1$.
---
#### 2. عمليات الحساب على الأعداد العشرية النسبية
**أ- جمع عددين عشريين نسببيين:**
* **قاعدة 1:** مجموع عددين عشريين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري لهما نفس الإشارة، ومسافته عن الصفر هي مجموع مسافتيهما عن الصفر (مثال: $(-57,225) + (-514) = - (57,225 + 514)$).
* **قاعدة 2:** لحساب مجموع عددين عشريين مختلفين في الإشارة، نأخذ إشارة العدد الأبعد عن الصفر ثم نحسب فرق مسافتيهما عن الصفر (أمثلة: $-36 + 14,11 = -(36 - 14,11) = -21,89$ ؛ $125 + (-45,5) = 79,5$ ؛ $-31,65 + (-11,5) = -43,15$).
**ب- فرق عددين عشريين نسبيين:**
* **القاعدة:** لحساب فرق عددين عشريين نسبيين، نضيف إلى الحد الأول مقابل الحد الثاني. فإذا كان $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين فإن: $a - b = a + (-b)$.
* **أمثلة:**
* $12 - (-13,55) = 12 + 13,55 = 25,55$
* $-34 - 16 = -34 + (-16) = -(34 + 16) = -50$
**ج- ضرب الأعداد العشرية النسبية:**
* **جداء عددين مختلفين في الإشارة:** هو عدد عشري نسبي سالب (أمثلة: $25,5 \times (-2) = -51$ ؛ $-11,5 \times 50 = -575$).
* **جداء عددين لهما نفس الإشارة:** هو عدد عشري نسبي موجب (أمثلة: $-21 \times (-5) = 105$ ؛ $-0,05 \times (-10) = 0,5$).
**د- قسمة الأعداد العشرية النسبية:**
* **تعريف:** ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين بحيث $b \neq 0$. العدد $q$ الذي يحقق $b \times q = a$ يسمى خارج $a$ على $b$ ويكتب: $q = \frac{a}{b}$ (مثال: بما أن $(-3) \times (-2) = 6$ فإن $\frac{6}{-2} = -3$).
* **خارج عددين لهما نفس الإشارة:** هو عدد عشري نسبي موجب (مثال: $-807,95 \div (-13) = 62,15$ ؛ $7,81 \div 1,1 = 7,1$).
* **خارج عددين مختلفين في الإشارة:** هو عدد عشري نسبي سالب (مثال: $807,95 \div (-13) = -62,15$ ؛ $-7,81 \div 1,1 = -7,1$).
---
#### 3. القوى
**أ- قوة عدد عشري نسبي:**
* **تعريف:** ليكن $a$ عددا عشريا نسبيا و $n$ عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم:
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ من العوامل}}$$
* **ملاحظات وتسميات:**
* يسمى $a$ أساس القوة، ويسمى $n$ أس القوة.
* أمثلة: $5^2 = 5 \times 5 = 25$ ؛ $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$.
* لكل عدد عشري نسبي $a$ غير منعدم: $a^1 = a$ و $a^0 = 1$ (أمثلة: $999^1 = 999$ ؛ $4^0 = 1$).
**ب- إشارة قوة أساسها سالب:**
تكون قوة أساسها سالب:
* **موجبة:** إذا كان أسها عددا زوجيا (مثال: إشارة $(-7)^4$ موجبة).
* **سالبة:** إذا كان أسها عددا فرديا (مثال: إشارة $(-5)^3$ سالبة).
**ج- قواعد الحساب على القوى:**
ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين، و $n$ و $m$ عددين صحيحين طبيعيين:
* $a^n \times a^m = a^{n+m}$
* $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
* $(a^n)^m = a^{n \times m}$
* $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
* $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$
**د- قوى العدد 10:**
لكل عدد صحيح طبيعي $n$:
$$10^n = \underbrace{100 \dots 0}_{n \text{ من الأصفار}}$$
* أمثلة:
* $10^5 = 100000$
* $10^{11} = 100000000000$
* $10^{22} = 10000000000000000000000$
# ملخص درس: النشر والتعميل
## أولاً: النشر
**التعريف:** يُقصد بالنشر كتابة جداء على شكل مجموع أو فرق.
### 1. جداء عدد في مجموع أو فرق (القاعدة الأولى)
لكل أعداد عشرية نسبية $a$ و $x$ و $y$:
* $a(x + y) = ax + ay$
* $a(x - y) = ax - ay$
* بصفة عامة: $n(a + b - c) = na + nb - nc$
* مجموع متكرر: $a + a + a + \dots + a$ ($n$ من الحدود) يُكتب على شكل $na$ حيث $a$ عدد عشري نسبي.
### 2. جداء مجموعين (القاعدة الثانية)
لكل أعداد عشرية نسبية $a$ و $b$ و $x$ و $y$:
$$(a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by$$
---
## ثانياً: التعميل
**التعريف:** التعميل هو كتابة مجموع أو فرق على شكل جداء.
* **ملاحظة هامة:** قبل الشروع في التعميل، يُبحث دائماً عن العامل المشترك بين حدود التعبير الرياضي.
---
## ثالثاً: المتطابقات الهامة
لكل عددين عشريين نسبيا $a$ و $b$:
1. **مربع مجموع:**
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
2. **مربع فرق:**
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
3. **جداء مجموع في فرق:**
$$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
تُستثمر هذه القواعد في تطبيقات نشر وتطوير التعابير الحرفية، وكذلك في تعميلها وتبسيطها رياضياً.