Systèmes de 2 équations à 2 inconnues PDF

تنزيل Systèmes de 2 équations à 2 inconnues PDF

يمكنك تنزيل Systèmes de 2 équations à 2 inconnues بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

ملخص درس: نظم معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين (Systèmes de 2 équations à 2 inconnues)

1. معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين

• التعريف: كل معادلة تُكتب على الشكل $ax + by + c = 0$ (أو $ax + by = c$) تُسمى معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين، حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية معلومة، و $x$ و $y$ مجهولان (حيث أسس $x$ و $y$ تساوي 1).
• حل المعادلة: هو إيجاد جميع الأزواج $(x; y)$ التي تحقق هذه المعادلة.
• خصائص الحلول: المعادلة من هذا النوع تقبل ما لا نهاية من الحلول؛ فمثلاً المعادلة $2x – y + 3 = 0$ يمكن كتابتها على الشكل $y = 2x + 3$، وتكون حلولها على الشكل العام $(x; 2x + 3)$.
• التمثيل المبياني: التمثيل المبياني لحلول معادلة من الدرجة الأولى بمجهولين في معلم متعامد ممنظم هو عبارة عن مستقيم.

2. نظم معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين

• التعريف: النظمة هي كتابة على الشكل: $$\begin{cases} ax + by = c \\ a’x + b’y = c’ \end{cases}$$ حيث $a, b, c, a’, b’, c’$ أعداد حقيقية ثابتة، و $x, y$ مجهولان.
• حل النظمة: هو إيجاد جميع الأزواج $(x; y)$ التي تحقق المعادلتين معاً في آن واحد (تحقيقاً مشتركاً).

3. طرق حل النظمة

أ. الطريقة المبيانية (La méthode graphique)

تعتمد على تمثيل مستقيمات المعادلات في معلم متعامد ممنظم، وتحديد الحلول انطلاقاً من نقط التقاطع:

• حل وحيد: إذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة $A(x; y)$، فالزوج الإحداثي لهذه النقطة هو الحل الوحيد للنظمة (مثال: التقاطع في النقطة $(1; 1)$).
• لا تقبل حلاً: إذا كان المستقيمان متوازيين قطعاً (لهما نفس الميل وأرطونان مختلفان عند الأصل)، فلا توجد نقطة مشتركة وبالتالي لا تقبل النظمة أي حل.
• عدد غير منتهي من الحلول: إذا كان المستقيمان منطبقين (معادلتان متكافئتان)، فإن حلول النظمة هي حلول المعادلة المشتركة.

ب. الطرق الجبرية (Les méthodes algébriques)

1. طريقة التعويض (La méthode par substitution):

• المبدأ: التعبير عن أحد المجهولين بدلالة الآخر في إحدى المعادلتين، ثم تعويضه في المعادلة الثانية.
• النتائج المحتملة:
  • الحصول على حل وحيد (زوج $(x; y)$).
  • استحالة الحل (ظهور عبارة خاطئة رياضياً مثل $6 = 1$).
  • وجود عدد غير منتهي من الحلول (ظهور عبارة صحيحة دائماً مثل $0x + 2 = 2$).

2. طريقة التأليف الخطي (La méthode par combinaison linéaire):

• المبدأ: ضرب طرفي كل معادلة في أعداد مختارة بعناية، بحيث عند جمع المعادلتين المحصل عليهما طرفاً لطرف، يختفي أحد المجهولين لتحديد قيمة المجهول الآخر.
• مثال تطبيقي: حل النظمة $\begin{cases} 4x + 3y = 3 \\ 5x + 2y = -5 \end{cases}$ يُمكّن من إيجاد الحل الوحيد وهو الزوج $(-3; 5)$.

4. المسظم وربطها بحل المسائل

تُوظّف نظم المعادلتين لحل مسائل واقعية وحياتية وفق الخطوات التالية:

1. اختيار المجهولين: تحديد المتغيرين (مثال: نرمز لسعر السندويتش بـ $x$ ولعر عصير البرتقال بـ $y$).
2. صياغة النظمة: تحويل معطيات المسألة النصية إلى نظام معادلتين (مثال: $\begin{cases} 4x + 5y = 88 \\ 3x + 7y = 79 \end{cases}$).
3. حل النظمة: باستخدام إحدى الطرق الجبرية أو المبيانية.
4. التحقق والتفسير: التأكد من صحة النتائج وإعطاء الاستنتاج النهائي (مثال: سعر السندويتش هو $17\text{ Dh}$ وسعر عصير البرتقال هو $4\text{ Dh}$).