الرياضيات الأولى اعدادي

# الرباعيات الخاصة ## 1. المستطيل - **التعريف:** المستطيل هو متوازي أضلاع له زاوية قائمة. - **ملاحظات هامة:** - جميع زوايا المستطيل قائمة. - للمستطيل بعدان هما: الطول والعرض. - للمستطيل جميع خاصيات متوازي الأضلاع. - **خاصية القطرين:** - **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي مستطيلاً، فإن لقطريه نفس الطول ($AC = BD$). - **الخاصية العكسية:** إذا كان رباعي متوازي الأضلاع قطراه لهما نفس الطول، فإنه يكون مستطيلاً. - **محاور ومركز التماثل:** للمستطيل محورا تماثل هما واسطا كل ضلعين متقابلين فيه، وله مركز تماثل واحد هو تقاطع قطريه. ## 2. المعين - **التعريف:** المعين هو متوازي أضلاع له ضلعان متتابعان متقايسان. - **ملاحظات هامة:** - جميع أضلاع المعين متقايسة. - للمعين جميع خاصيات متوازي الأضلاع. - **خاصية القطرين:** - **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي معيناً، فإن حاملا قطريه متعامدان. - **الخاصية العكسية:** إذا كان رباعي متوازي الأضلاع قطراه متعامدان، فإنه يكون معيناً. - **محاور ومركز التماثل:** للمعين محورا تماثل هما واسطا كل ضلعين متقابلين فيه، وله مركز تماثل واحد هو تقاطع قطريه. ## 3. المربع - **التعريف:** المربع هو معين له زاوية قائمة. - **ملاحظات هامة:** - جميع زوايا المربع قائمة. - جميع أضلاع المربع متقايسة. - للمربع جميع خاصيات متوازي الأضلاع. - المربع هو مستطيل طوله يساوي عرضه. - **خاصية القطرين:** - **الخاصية المباشرة:** إذا كان رباعي مربعاً، فإن لقطريه نفس الطول. - **الخاصية العكسية:** إذا كان رباعي معيناً قطراه متقايسان، فإنه يكون مربعاً. - **محاور ومركز التماثل:** للمربع أربعة محاور تماثل هي واسطا كل ضلعين متقابلين فيه وحاملا قطريه، وله مركز تماثل واحد هو تقاطع قطريه.

# الدائرة ## 1. مصطلحات أساسية ### تعريف الدائرة تُعرّف الدائرة التي مركزها $O$ وشعاعها $r$ بأنها مجموعة نقط المستوى التي تقع على مسافة من المركز $O$ تساوي $r$. ### عناصر الدائرة تتضمن الدائرة عناصر هندسية أساسية تشمل: - **قطر الدائرة.** - **وتر الدائرة:** مثل القطعة $[EB]$. - **شعاع الدائرة.** ### مماس الدائرة يُقصد بمماس الدائرة في نقطة $M$ تنتمي إلى الدائرة أنه مستقيم عمودي على حامل الشعاع في النقطة $M$. وعندما يكون تقاطع الدائرة والمستقيم $(D)$ منحصراً في النقطة $A$، يُقال إن المستقيم $(D)$ مماس للدائرة في النقطة $A$. --- ## 2. الخاصية الأولى - إذا كان المستقيم مماساً لدائرة في إحدى نقطها $A$، فإنه يكون عمودياً على الشعاع في النقطة $A$. - وبالمثل، إذا كان المستقيم عمودياً على الشعاع في النقطة $A$، فإن هذا المستقيم يُعدّ مماسّاً للدائرة في تلك النقطة.

# التناسبية ## 1. جدول التناسبية ومبيانها * **جدول التناسبية:** * **وضعيات التناسبية:** يحقق جدول وضعية التناسبية إذا أمكن الحصول على أعداد السطر الثاني بضرب أعداد السطر الأول في نفس العدد الثابت، والذي يُسمى **معامل التناسب**. * **وضعيات غير تناسبية:** لا يحقق الجدول وضعية التناسبية إذا تعذّر ضرب أعداد السطر الأول في نفس العدد للحصول على أعداد السطر الثاني، وتكون أعداد السطر الثاني حينئذ غير متناسبة مع أعداد السطر الأول. * **مبيان التناسبية:** * يحقق المبيان وضعية التناسبية إذا كانت جميع نقطه مستقيمية مع أصل المعلم. * بخلاف ذلك، يُعدّ المبيان غير محقق لوضعية التناسبية إذا انتفت هذه الاستقيمية مع أصل المعلم. ## 2. الرابع المتناسب * **تعريف:** يُقصد بالرابع المتناسب إيجاد قيمة عددية مجهولة (مثل العدد $x$) داخل جدول تتوفر فيه شروط التناسب. * **إتمام جداول التناسب:** يتم حساب القيم المجهولة بالاعتماد على معامل التناسب أو عبر تطبيق قواعد الرابع المتناسب (مثل الجداء المتصالب). ## 3. سلم التصميمات والخرائط * **تعريف:** السلم هو معامل التناسب الذي يربط بين القياسات الحقيقية لشيء ما والقياسات الموافقة لها على تصميم أو خريطة. * **خاصية أساسية:** القياسات الممثلة على الخريطة أو التصميم تكون متناسبة مطردة مع القياسات الحقيقية وفق نسبة السلم المحددة. ## 4. الحركة المنتظمة * **تعريف:** يكون جسم ما في حالة حركة منتظمة إذا كانت المسافات التي يقطعها متناسبة مع المدد الزمنية الموافقة لها. * **التمييز بين الحركات:** * **حركة منتظمة:** تتحقق عندما تتساوى نسب المسافات المقطوعة على المدد الزمنية المستغرقة. * **حركة غير منتظمة:** لا تتحقق وضعية التناسبية فيها لعدم تساوي النسب بين المسافات والمدد الزمنية الموافقة لها.

# ملخص درس: التماثل المركزي ## 1. مماثلة نقطة بالنسبة لنقطة * **تعريف:** تكون النقطتان $A$ و$A'$ متماثلتين بالنسبة لنقطة $O$ إذا كانت $O$ منتصف القطعة $[AA']$. وفي هذه الحالة، تُسمى $A'$ مماثلة النقطة $A$ بالنسبة للمركز $O$ (ويقال كذلك إن $A$ و$A'$ متماثلتان بالنسبة لـ $O$). * **ملاحظة هامة:** مماثلة النقطة $O$ بالنسبة لنفسها هي النقطة $O$ ذاتها. ## 2. الحفاظ على المسافة * **خاصية أساسية:** التماثل المركزي يحافظ على المسافة بين النقط؛ فإذا كانت $A$ و$B$ نقطتين مختلفتين، فإن المسافة بين ممالتيهما $A'$ و$B'$ تساوي المسافة الأصلية، أي أن: $AB = A'B'$. ## 3. ممائلات بعض الأشكال الهندسية * **ممائلات نقط مستقيمية:** يحافظ التماثل المركزي على استقامية النقط؛ فإذا كانت $A$ و$B$ و$C$ نقطاً مستقيمية، فإن ممائلاتها $A'$ و$B'$ و$C'$ تكون بدورها نقطاً مستقيمية. * **مماثل مستقيم:** مماثل مستقيم بالنسبة لنقطة هو مستقيم يوازيه. * **مماثل نصف مستقيم:** مماثل نصف المستقيم $[AB)$ بالنسبة لنقطة $O$ هو نصف المستقيم $[A'B')$ بحيث تكون $A'$ و$B'$ ممائلتي النقطتين $A$ و$B$ على التوالي بالنسبة لـ $O$. * **مماثلة قطعة:** مماثلة قطعة بالنسبة لنقطة هي قطعة تقايسها. * **مماثلة زاوية:** مماثلة زاوية بالنسبة لنقطة هي زاوية تقايسها. * **مماثلة دائرة:** مماثلة دائرة $(C)$ مركزها $O$ وشعاعها $r$ بالنسبة لنقطة $E$ هي دائرة $(C')$ مركزها $O'$ (مماثل المركز $O$ بالنسبة لـ $E$) ولها نفس الشعاع $r$. * *تقنية الرسم:* لرسم ممائلة دائرة بالنسبة لنقطة، يتم رسم ممائل المركز بالنسبة لتلك النقطة ثم الاحتفاظ بنفس الشعاع. ## 4. مركز تماثل شكل * **تعريف:** تُسمى نقطة $O$ مركز تماثل شكل $F$ إذا كان مماثل هذا الشكل بالنسبة للنقطة $O$ هو الشكل $F$ نفسه. * **أمثلة:** * **مركز تماثل دائرة:** هو مركزها. * **مركز تماثل قطعة:** هو منتصفها.

# الإحصاء ## 1. مفردات وتعاريف أساسية * **الساكنة الإحصائية:** مجموعة الأشخاص أو الأشياء التي تتميز بميزة معينة. يُسمى كل مكون من مكوناتها "وحدة إحصائية" أو "فردًا". * *مثال:* مجموعة من 40 برتقالة لملاحظة حجم الماء المستخرج منها، أو مجموعة أشخاص لملاحظة عدد اللغات التي يتقنونها. * **الميزة الإحصائية:** خاصية يمكن ملاحظتها أو قياسها على كل الوحدات الإحصائية. * *أمثلة:* لون العينين، الجنس، الطول، الوزن، الجنسية، السن. وفي الميدان الاجتماعي: عدد حوادث السير اليومية، الأمراض الشائعة، الاستهلاك اليومي. وتلاحظ كل ميزة عبر قيم مختلفة (مثل أزرق، بني، أخضر). * **الحصيص:** عدد الوحدات الإحصائية التي تمثل قيمة معينة من قيم الميزة. * **الحصيص الجزئي:** حصيص قيمة من قيم الميزة. * **الحصيص الإجمالي:** حصيص الساكنة كلها. * *مثال:* إذا كان 10 تلاميذ من بين 32 لون عيونهم بني غامق، فحصیص القيمة "بني غامق" هو 10. * **المتسلسلة الإحصائية:** التوزيع الناتج عن توزيع الحصيص الإجمالي على مختلف قيم الميزة، والتي يمكن تمثيلها في جدول إحصائي. --- ## 2. التردد والتمثيل المبياني * **التردد:** هو خارج قسمة حصيص قيمة معينة من قيم الميزة على الحصيص الإجمالي. * **النسبة المئوية:** تُحسب بضرب التردد في 100. * *مثال:* تردد بقيمة 0,25 يمثل نسبة 25% (0,25 × 100). * **التمثيل الدائري:** تُقسم الدائرة إلى زوايا متناسبة مع التردد أو النسبة المئوية المرتبطة بكل قيمة من قيم الميزة (مثل: الزاوية الممثلة للبني الغامق 126°، وللأخضر 36°، وللأزرق 18°، وللبني 90°). * **التمثيل في معلم متعامد:** يتمثل في استخدام أشرطة يكون طولها متناسبًا مع الحصيص أو تردد كل قيمة من قيم الميزة الإحصائية.