الرياضيات الأولى اعدادي

### المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد #### 1. تعريف المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد تُعرّف المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد بأنها كل كتابة على إحدى الصيغتين: $a+x=b$ أو $ax=b$ (حيث $a \neq 0$)، حيث يُمثل كل من $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين، ويُرمز للمجهول بالرمز $x$. #### 2. حل معادلة يُقصد بحل المعادلة عملية البحث عن قيمة المجهول $x$. وتنقسم طرائق الحل بناءً على صيغة المعادلة إلى: * **حل المعادلة من الشكل $x+a=b$:** يُعطى حلها بالعدد العشري النسبي $x = b - a$. * **حل المعادلة من الشكل $ax=b$ (حيث $a \neq 0$):** يُعطى حلها بالعدد العشري النسبي $x = \frac{b}{a}$. #### 3. خصائص المتساويات وقواعد الحل تستند عملية حل المعادلات إلى قاعدتين أساسيتين في التعامل مع المتساويات: * **القاعدة الأولى (الجمع والطرح):** إذا أضفنا أو طرحنا نفس العدد النسبي $k$ إلى طرفي متساوية، فإن المتساوية لا تتغير. وبصيغة أخرى، إذا كان $a = b$ فإن: * $a + k = b + k$ * $a - k = b - k$ * **القاعدة الثانية (الضرب والقسمة):** إذا ضربنا في نفس العدد أو قسمنا على نفس العدد غير المنعدم $k$ طرفي متساوية، فإن المتساوية لا تتغير. وبصيغة أخرى، إذا كان $a = b$ (مع $k \neq 0$) فإن: * $a \times k = b \times k$ * $a \div k = b \div k$ #### 4. خطوات حل المعادلات تتم عملية حل المعادلات التطبيقية وفق الآتي: 1. عزل الأعداد التي لا تحتوي على المجهول $x$ في أحد طرفي المعادلة، والأعداد التي تحتوي على المجهول في الطرف الآخر، مع إضافة مقابل العدد عند نقله من طرف لآخر. 2. تبسيط الطرفين واستخراج القيمة النهائية للمجهول $x$. #### 5. حالات خاصة * المعادلة من الشكل $0x = b$ (حيث $b \neq 0$): ليس لها حل. * المعادلة من الشكل $0x = 0$: جميع الأعداد العشرية النسبية تعتبر حلاً لها. #### 6. منهجية حل المسائل تُحل المسائل الرياضية باتباع أربع مراحل متسلسلة: 1. **اختيار المجهول:** تحديد العنصر المراد حسابه ورمزه بـ $x$. 2. **صياغة المعادلة:** تحويل معطيات المسألة إلى معادلة رياضية. 3. **حل المعادلة:** تطبيق قواعد الحل الرياضية لإيجاد قيمة المجهول. 4. **الخلاصة:** تقديم الإجابة النهائية وتفسير النتائج ضمن سياق المسألة.

### ملخص درس: المستقيم وأجزاؤه #### 1. المستقيم * **تعريف:** المستقيم هو مجموعة من نقط المستوى، وهو غير محدود. * **المستقيم المار من نقطتين:** من نقطتين مختلفتين يمر مستقيم وحيد، ويُرمز له بالرمز $(AB)$. * **ملاحظة:** من نقطة واحدة في المستوى تمر عدة مستقيمات. #### 2. النقط المستقيمية * **تعريف:** تكون نقط مستقيمية إذا كانت تنتمي إلى نفس المستقيم. #### 3. الأوضاع النسبية لمستقيمين في المستوى * **المستقيمان المتقاطعان:** هما مستقيمان يشتركان في نقطة واحدة. * **المستقيمان المنطبقان:** هما مستقيمان يشتركان في أكثر من نقطة واحدة. * **المستقيمان المتوازيان قطعا:** هما مستقيمان لا يشتركان في أية نقطة، ويُكتب: $(D) // (L)$. #### 4. المستقيمان المتعامدان * **تعريف:** يكون مستقيمان متعامدين إذا كانا يحددان زاوية قائمة، ويُكتب: $(R) \perp (D)$. * **خاصية:** من نقطة معلومة يمر مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم. #### 5. نصف المستقيم وأجزاؤه * **نصف المستقيم:** جزء من مستقيم له أصل ويمتد في جهة واحدة، ويُرمز له بالرمز $[AB)$ (حيث $A$ هو الأصل)، ويمثل المستقيم حاملًا له. * **نصفا المستقيم المتقابلان:** هما نصفا مستقيم مختلفان لهما نفس الأصل ونفس الحامل (مثل $[AB)$ و $[AC)$). * **المسقط العمودي لنقطة على مستقيم:** هي نقطة تقاطع المستقيم والمستقيم العمودي عليه المار من تلك النقطة، وتسمى المسافة بين النقطة ومسقطها العمودي بـ "المسافة بين النقطة والمستقيم". #### 6. القطعة ومفاهيمها * **القطعة:** جزء محدد من مستقيم له طرفان، ويُرمز لها بالرمز $[AB]$، ويسمى المستقيم $(AB)$ حاملاً لها. * **منتصف قطعة:** هو نقطة تنتمي إلى القطعة وتكون متساوية المسافة عن طرفيها (أي أن $M \in [AB]$ و $MA = MB$). * **القطعتان المتقايستان:** تكون قطعتان متقايستين إذا كان لهما نفس الطول، ويُكتب: $AB = CD$.

### المستقيم المدرج والمعلم في المستوى #### 1. المستقيم المدرج نعتبر مستقيماً مدرجاً $(OI)$ حيث تمثل القطعة $[OI]$ وحدة التدريج: * يُسمّى العدد 0 أفصول النقطة $O$، والعدد 1 أفصول النقطة $I$. * يُعبّر عن أفصول نقطة بكتابة رمز النقطة متبوعاً بقيمتها بين قوسين (مثل: $A(4)$ أو $X_a = 4$)، أو بقيمة سالبة (مثل: $B(-3)$ أو $X_b = -3$). #### 2. حساب المسافة بين نقطتين على مستقيم مدرج * **القاعدة:** لحساب المسافة بين نقطتين، يُطرح الأفصول الأصغر من الأفصول الأكبر. * **أمثلة تطبيقية:** * لحساب المسافة بين النقطتين $A$ و $B$: $AB = X_a - X_b$. * تتحدد المسافات بين النقط بحساب الفرق المطلق بين أفاصلها وفق الوحدات المدرجة. --- #### 3. المعلم في المستوى عند تقاطع مستقيمين مدرجين $(OI)$ و $(OJ)$ في النقطة $O$: * يُسمّى المستقيم $(OI)$ محور الأفاصيل. * يُسمّى المستقيم $(OJ)$ محور الأراتيب. * يُرمز لمعلم المستوى بالرمز $(O; I; J)$، وحين يكونان متعامدين يُقال إن المستوى منسوب إلى معلم متعامد (أو ممنظم ومتعامد عند تساوي وحدات التدريج). #### 4. إحداثيتا نقطة في المستوى * **التعريف:** ترتبط كل نقطة $M$ من المستوى بعددين عشريين نسبيين هما $X_m$ و $Y_m$، ويُسميان إحداثيتي النقطة $M$. * **طريقة الكتابة:** نكتب $M(X_m; Y_m)$، حيث يمثل العدد الأول $X_m$ الأفصول، ويمثل العدد الثاني $Y_m$ الأرتوب.

# ملخص درس: المساحات والمحيطات يُقصد بالمحيطات والمساحات القياسات الهندسية الأساسية للأشكال في المستوى وفي الفضاء. وفيما يلي تفصيل القواعد الخاصة بحساب محيطات ومساحات مختلف الأشكال والوحدات الهندسية: ## أولاً: المحيطات والمساحات في المستوى ### 1. المربع * **المحيط (P):** يساوي طول الضلع مضروباً في 4 ($P = 4 \times AB$). * **المساحة (S):** تساوي طول الضلع في نفسه ($S = AB \times AB$). ### 2. المستطيل * **المحيط (P):** يساوي مجموع الطول والعرض مضروباً في 2 ($P = 2(AB + BC)$). * **المساحة (S):** تساوي الطول مضروباً في العرض ($S = AB \times BC$). ### 3. المثلث * **المساحة (S):** تُحسب بضرب القاعدة في الارتفاع ($S = AB \times AH$) أو عبر جداء القطرين مقسوماً على 2 ($S = \frac{AC \times BD}{2}$). ### 4. متوازي الأضلاع * **المحيط (P):** يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة ($P = AB + BC + CD + DA$). ### 5. الدائرة * **المحيط (P):** يساوي $2 \times \pi \times r$. * **المساحة (S):** تساوي $\pi \times r^2$. --- ## ثانياً: المحيطات والمساحات في الفضاء ### 1. متوازي المستطيلات * **الحجم (V):** يساوي جداء الأبعاد الثلاثة ($V = AB \times AD \times AE$). * **المساحة الكلية ($S_T$):** تساوي المساحة الجانبية مضافاً إليها ضعفا مساحة القاعدة ($S_T = S_L + 2 S_p$). ### 2. المكعب * **الحجم (V):** يساوي ($V = AB^3$). * **المساحة الكلية ($S_T$):** تساوي ($6 \times AB^2$). * **المساحة الجانبية ($S_L$):** تساوي ($4 \times AB^2$). ### 3. الأسطوانة القائمة * **الحجم (V):** يساوي مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع ($V = S_p \times AE$). * **المساحة الجانبية ($S_L$):** تساوي محيط القاعدة مضروباً في الارتفاع ($p \times AE$). * **المساحة الكلية ($S_T$):** تساوي المساحة الجانبية مضافاً إليها ضعفا مساحة القاعدة ($S_T = S_L + 2 S_p$). *(حيث: $p$ يمثل محيط القاعدة، و$S_p$ يمثل مساحة القاعدة).*

# المنصفات والارتفاعات في مثلث ## 1. المنصفات في مثلث ### أ) منصف زاوية * **التعريف:** هو نصف مستقيم أصله رأس الزاوية، يوجد بداخلها ويقسمها إلى زاويتين متقايستين. * **الخاصية المباشرة:** كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية تبعد بنفس المسافة عن ضلعي هذه الزاوية. * **الخاصية العكسية:** كل نقطة تبعد بنفس المسافة عن ضلعي زاوية تنتمي إلى منصف هذه الزاوية. * **الخاصية المميزة:** منصف زاوية هو مجموعة من نقط الزاوية المتساوية المسافة عن ضلعيها. ### ب) منصفات مثلث * **التعريف:** هو منصف إحدى زواياه. * **الخاصية:** تتلاقى منصفات مثلث في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المحاطة بهذا المثلث. * **ملاحظة هامة:** لإيجاد مركز دائرة محاطة بمثلث، يكفي رسم منصفين فقط من منصفات هذا المثلث. --- ## 2. الارتفاعات في مثلث * **التعريف:** ارتفاع مثلث هو مستقيم يمر من أحد رؤوس المثلث وعمودي على حامل الضلع المقابل لهذا الرأس. * **ملاحظة هامة:** للمثلث ثلاث ارتفاعات. * **الخاصية:** ارتفاعات مثلث تتلاقى في نقطة واحدة تسمى مركز تعامد هذا المثلث. * **ملاحظة هامة:** لرسم مركز تعامد مثلث، يكفي رسم ارتفاعين فقط من ارتفاعات هذا المثلث.

# ملخص درس: الكتابة الكسرية - الأعداد الكسرية * **المؤسسة:** مؤسسة الجابري (الخصوصية) * **السنة الدراسية:** 2010 / 2011 * **الأستاذ:** علي أوساو --- ## أولاً: مجموع وفرق عددين كسريين ### 1. مجموع وفرق عددين كسريين لهما نفس المقام (قاعدة 1) مجموع أو فرق عددين كسريين لهما نفس المقام هو عدد كسري مقامه هو نفس المقام، وبسطه هو مجموع أو فرق البسطين: * $\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$ * $\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$ (بشرط $a > c$ في حالة الفرق) ### 2. مجموع وفرق عددين كسريين مقام أحدهما مضاعف مقام الآخر (قاعدة 2) في هذه الحالة، يتم توحيد مقاميهما أولاً ثم تطبيق قاعدة جمع أو طرح عددين كسريين لهما نفس المقام. --- ## ثانياً: جداء وخارج عددين كسريين ### 1. جداء عددين كسريين (قاعدة 3) لحساب جداء عددين كسريين، يتم ضرب البسط في البسط والمقام في المقام: * $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ ### 2. مقلوب العدد الكسري (قاعدة 4) مقلوب عدد كسري غير منعدم $\frac{a}{b}$ هو العدد الكسري $\frac{b}{a}$. ### 3. خارج عددين كسريين (قاعدة 5) لحساب خارج عددين كسريين، يتم حساب جداء العدد الأول في مقلوب العدد الثاني: * $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$

# ملخص درس: القوى ## 1. قوة عدد عشري نسبي * **التعريف:** تُعرّف قوة عدد عشري نسبي $a$ ذات الأس $n$ (حيث $n$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم، و $a \neq 0$) بأنها جداء $n$ عوامل متساوية كل منها يساوي العدد $a$. * **المفاهيم الأساسية:** * يُسمى العدد $a$ بـ **أساس القوة**. * يُسمى العدد $n$ بـ **أس القوة**. * **ملاحظات هامة:** * لكل عدد عشري نسبي غير منعدم $a$، لدينا $a^1 = a$. * أساس القوة يخالف الصفر ($a \neq 0$). ## 2. إشارة قوة أساسها سالب تعتمد إشارة القوة التي أساسها سالب على طبيعة الأس وفق الخاصية الآتية: * **تكون القوة موجبة:** إذا كان أسها عددًا زوجيًا (مثال: القوة $(-11)^{16}$). * **تكون القوة سالبة:** إذا كان أسها عددًا فرديًا (مثال: القوة $(-5,9)^{21}$). * **ملاحظة تفرقة:** توجد اختلاف دلالي بين القوة ذات الأقواس مثل $(-5)^5$ (حيث الأساس هو $-5$) وبين القوة بدون أقواس مثل $-5^5$. ## 3. خصائص القوى تخضع القوى لعدة خصائص جبرية منتظمة عند التعامل مع عددين عشريين نسبيين غير منعدمين ($a$ و $b$) وع عددين صحيحين ($n$ و $m$)، وتبرز هذه الخصائص في عمليات الجداء، والقسمة، وقوة قوة، وقوة جداء. ## 4. قوى العدد 10 تُمثل قوى العدد 10 ($10^n$) صيغة رياضية هامة للتعبير عن الأعداد الكبيرة المرتبطة بتعداد الأصفار (مثل $10^5 = 100000$).

# العمليات على الأعداد الصحيحة الطبيعية والعشرية **الأستاذ:** ياسين نورالدين --- ### أولاً: حساب سلسلة من العمليات بدون أقواس 1. **في عمليات الجمع والطرح:** تُنجز العمليات من اليسار إلى اليمين حسب الترتيب إذا كان التعبير مكوناً من سلسلة من عمليتي الجمع والطرح فقط. 2. **في عمليات الضرب والقسمة:** تُنجز العمليات من اليسار إلى اليمين حسب الترتيب إذا كان التعبير مكوناً من سلسلة من عمليتي الضرب والقسمة فقط. 3. **الترتيب العام:** تُنجز أولاً عمليتا الضرب والقسمة، ثم تتبعهما عمليتا الجمع والطرح. ### ثانياً: حساب سلسلة من العمليات بأقواس * تُنجز أولاً العمليات الموجودة داخل الأقواس الداخلية، ثم التي تليها تدريجياً حتى يصبح التعبير خالياً من الأقواس. --- ### ثالثاً: توزيعية الضرب على الجمع والطرح 1. **تحويل الجداء إلى مجموع (خاصية 1):** * لكل $a$ و$b$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$K \times (a + b) = K \times a + K \times b$$ * ملاحظات في الكتابة: يُستحسن استخدام الكتابة المختصرة $Ka$ أو $aK$. كما أن $K \times (a + b) = (a + b) \times K$. 2. **تحويل الجداء إلى فرق (خاصية 2):** * لكل $a$ و$b$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$K \times (a - b) = K \times a - K \times b$$ 3. **تحويل الجداء إلى مجموع أو/و فرق (خاصية 3):** * لكل $a$ و$b$ و$c$ و$d$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$K \times (a + b - c - d) = Ka + Kb - Kc - Kd$$ 4. **تحويل المجموع إلى جداء (خاصية 4):** * لكل $a$ و$b$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$K \times a + K \times b = K \times (a + b)$$ 5. **تحويل الفرق إلى جداء (خاصية 5):** * لكل $a$ و$b$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$K \times a - K \times b = K \times (a - b)$$ 6. **تحويل المجموع والفرق إلى جداء (خاصية 6):** * لكل $a$ و$b$ و$c$ و$K$ أعداد عشرية، لدينا: $$Ka - Kb + Kc = K(a - b + c)$$

# الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع ## 1. تذكير بالمفاهيم الأساسية للزوايا * **الزاويتان المتتامتان والمتكاملتان:** * **الزاويتان المتتامتان:** هما زاويتان مجموع قياسهما 90°. * **الزاويتان المتكاملتان:** هما زاويتان مجموع قياسهما 180°. * **الزاويتان المتحاذيتان:** هما زاويتان لهما نفس الرأس، وضلع مشترك، ويكون تقاطعهما هو الضلع المشترك. * **الزاويتان المتقابلتان بالرأس:** * **خاصية:** كل زاويتين متقابلتان بالرأس تكونان متقايستين. --- ## 2. تعاريف الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع عند قطع مستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$ بقاطع $(L)$ على التوالي في نقطتين $A$ و $B$: * **الزاويتان المتبادلتان داخلياً:** هما زاويتان تنتجان عن تقاطع مستقيمين مع قاطع لهما. * **الزاويتان المتناظرتان:** هما زاويتان تنتجان كذلك عن تقاطع مستقيمين مع قاطع لهما. --- ## 3. خاصيات التوازي المرتبطة بالزوايا * **الخاصية المباشرة للزاويتين المتبادلتين داخلياً:** إذا كان مستقيمان متوازيين، فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما زاويتان متبادلتان داخلياً متقايستان. * **الخاصية المباشرة للزاويتين المتناظرتين:** إذا كان مستقيمان متوازيين، فإنهما يحددان مع كل قاطع لهما زاويتان متناظرتان متقايستان. * **الخاصية العكسية (المتبادلتان داخلياً والمتناظرتان):** إذا حدد مستقيمان مع قاطع لهما زاويتين متبادلتين داخلياً متقايستان أو زاويتين متناظرتان متقايستان، فإنهما يكونان متوازيين. --- ## 4. خاصيات التوازي والتعامد * **الخاصية الأولى:** إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عمودياً على الآخر. * **الخاصية الثانية:** إذا كان مستقيمان متعامدين، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون موازياً للآخر.

# ملخص درس: الزوايا ## 1. زوايا خاصة * **الزاوية المستقيمية:** زاوية قياسها 180°. * **الزاوية القائمة:** زاوية قياسها 90°. * **الزاوية الحادة:** زاوية قياسها محصور بين 0° و 90°. * **الزاوية المنفرجة:** زاوية قياسها محصور بين 90° و 180°. ## 2. زاويتان متحاديتان، زاويتان متتامتان، زاويتان متكاملتان * **الزاويتان المتحاديتان:** هما زاويتان لهما نفس الرأس وضلع مشترك، وتوجدان في جهتين مختلفتين من الضلع المشترك. * **الزاويتان المتتامتان:** هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 90°. * **الزاويتان المتكاملتان:** هما زاويتان مجموع قياسهما يساوي 180°. ## 3. مجموع زوايا مثلث * **خاصية:** مجموع قياسات زوايا مثلث يساوي 180°. ## 4. زاويتان متقابلتان بالرأس * **تعريف:** هما زاويتان لهما نفس الرأس، وضلعا كل منهما امتداد لضلعي الزاوية الأخرى. * **خاصية:** الزاويتان المتقابلتان بالرأس متقايستان. ## 5. منصف الزاوية * **تعريف:** هو نصف المستقيم الذي أصله رأس الزاوية، والذي يقسمها إلى زاويتين متقايستين. * **الخاصية المباشرة:** كل نقطة تنتمي إلى منصف زاوية فإنها تبعد بنفس المسافة عن ضلعي هذه الزاوية. * **الخاصية العكسية:** كل نقطة تبعد بنفس المسافة عن ضلعي زاوية فإنها تنتمي إلى منصف هذه الزاوية. ## 6. منصفات زوايا مثلث * **خاصية:** تتلاقى منصفات زوايا مثلث في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحاطة بهذا المثلث.