السنة الأولى إعدادي

### ملخص فرض محروس في مادة الرياضيات * **المستوى الدراسي:** الأولى ثانوي إعدادي. * **أستاذ المادة:** توفيق بوكرارة. * **مدة الإنجاز:** 50 دقيقة. يحتوي الفرض المحروس (الدورة الثانية) على ثلاثة تمارين رئيسية: 1. **التمرين الأول (10 نقط):** * **الجزء الأول:** إتمام قواعد وتوزيعية الضرب بالنسبة للأعداد العشرية النسبية. * **الجزء الثاني:** النشر والبسيط للتعابير الآتية: - $A = 5x \times (7 + 9x)$ - $B = 7x \times (-6 - 3x)$ - $C = (11x + 5)(8 + 3x)$ * **الجزء الثالث:** تعميل التعابير المقترحة (مثل $D$ و $E$). 2. **التمرين الثاني (7 نقط):** * دراسة هندسية لمثلث متساوي الساقين $MNP$ حيث قياس $NM = 3\text{ cm}$، معطيات ونقاط خارجة مرتبطة بالمثلث. 3. **التمرين الثالث (3 نقط):** * تحديد الحالات التي يكون فيها المثلث $PRS$ قائم الزاوية مع تعليل الجواب عبر حالتين: - **الحالة 1:** $P = 20^\circ$ و $S = 70^\circ$. - **الحالة 2:** $S = 95^\circ$ و $R = 55^\circ$.

# ملخص فرض محروس رقم 1 - مستوى الأولى إعدادي (1إع) ## 1. الحساب العددي المطلوب إنجاز العمليات الحسابية التالية: - $A = (01-2) + (30+5) - 4$ - $B = 18 - 4 \times 3 + 5$ - $C = 8 + 4 + [13 \times (21-5)]$ - $D = 5 + 24 + 4 \times 7$ ## 2. إتمام العمليات والمتساويات نقل العبارات التالية على ورقة التحرير ثم إتمامها: - $3 \times (4 + ...) = ... + ...$ - $2 \times (10 + ...) = 50$ أو $2 \times (...) = 2 + ...$ ## 3. الهندسة والإنشاءات الهندسية نقل الشكل الهندسي حيث $AB = 4\text{cm}$ على المستقيم $(D)$، مع تطبيق التعليمات الآتية: 1. إنشاء النقطة من $(D)$ بحيث تكون مستقيمية مع النقطتين $A$ و $B$. 2. إنشاء النقطة $K$ منتصف القطعة $[AB]$ باستعمال المسطرة والبركار. 3. إنشاء المستقيم $(D_1)$ المار من النقطة $A$ والموازي للمستقيم $(D)$. 4. إنشاء النقطة بحيث تكون المسافة $BC = 6\text{cm}$ والمسافة $AC = 5\text{cm}$.

**عنوان المورد:** ضرب وقسمة الأعداد العشرية النسبية ### 1. ضرب الأعداد العشرية النسبية * **أ) جداء عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة:** * **قاعدة 1:** جداء عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري موجب. * *أمثلة:* * $(-10) \times (-5) = 50$ * $0,05 \times 3 = 0,15$ * $(-126) \times 0 = 0$ * $(-125,89) \times 0 = 0$ * **ب) جداء عددين عشريين نسبيين مختلفين في الإشارة:** * **قاعدة 2:** جداء عددين عشريين نسبيين مختلفين في الإشارة هو عدد عشري نسبي سالب. * *أمثلة:* * $25,5 \times (-2) = -51$ * $-11,5 \times 50 = -575$ * $(-5) \times 22 = -110$ * $-75 \times 10 = -750$ * **ج) جداء عدد عشري نسبي في 1 و -1:** * **قاعدة 3:** ليكن $a$ عدداً عشرياً نسبياً؛ فإن: * $a \times 1 = a$ و $1 \times a = a$ * $(-1) \times a = -a$ و $(-1) \times (-a) = a$ * مجموع عددين عشريين متقابلين يكون دائماً منعدماً (أي يساوي صفراً)، حيث: $a + (-a) = 0$ (مثل: $(-2) + 2 = 0$). * *أمثلة:* * $(-1) \times 3367,1 = -3367,1$ * $1 \times (-125,88) = -125,88$ * $(-1) \times (-359,7) = 359,7$ * $(-1) \times 11258 = -11258$ * **د) جداء عدة أعداد عشرية نسبية:** * **قاعدة 4:** جداء عدة أعداد عشرية نسبية يكون موجباً إذا كان عدد عوامله السالبة زوجياً، ويكون سالباً إذا كان عدد عوامله السالبة فردياً. * *مثال A:* $A = -5 \times 1,3 \times (-7) \times (-25)$ (عدد العوامل السالبة 4 وهو عدد زوجي؛ إذن $A$ موجب). * *مثال B:* $B = 11 \times (-254) \times 14 \times (-1) \times (-0,5) \times 1,7$ (عدد العوامل السالبة 3 وهو عدد فردي؛ إذن $B$ عدد سالب). * **قاعدة 5:** لا يتغير جداء عدة أعداد عشرية نسبية إذا غيرنا ترتيب عوامله أو عوضنا بعضها بجدائها. * *مثال:* $$A = (-2) \times 5,5 \times 50 \times (-1,5)$$ $$= ((-2) \times 50) \times (5,5 \times (-1,5))$$ $$= -100 \times (-8,25) = 825$$ * **تقنيات الحساب:** * لحساب جداء عدة أعداد عشرية نسبية، نحدد أولاً إشارة هذا الجداء ثم نطبق القاعدة 4. --- ### 2. قسمة الأعداد العشرية النسبية * **أ) خارج عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة:** * **قاعدة 6:** خارج عددين عشريين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري نسبي موجب. * **ب) خارج عددين عشريين نسبيين مختلفين في الإشارة:** * **قاعدة 7:** خارج عددين عشريين نسبيين مختلفين في الإشارة هو عدد عشري نسبي سالب. * **ملاحظة هامة حول إشارات الخارج:** * لكل عددين عشريين نسبيين غير منعدمين $a$ و $b$: $$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$$ $$\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$$ * **التأطير والقيم المقربة:** * **إذا كان الخارج موجباً (مثال: $\frac{22}{7}$):** * القيمة المقربة إلى 1 بالتفريط هي: $3$ * القيمة المقربة إلى 1 بإفراط هي: $4$ * تأطير العدد $\frac{22}{7}$ إلى 1 هو: $3 < \frac{22}{7} < 4$ * القيمة المقربة إلى 0,1 بالتفريط هي: $3,1$ * القيمة المقربة إلى 0,1 بإفراط هي: $3,2$ * تأطير العدد $\frac{22}{7}$ إلى 0,1 هو: $3,1 < \frac{22}{7} < 3,2$ * **إذا كان الخارج سالباً (مثال: $-\frac{22}{7}$):** * القيمة المقربة إلى 1 بالتفريط هي: $-4$ * القيمة المقربة إلى 1 بإفراط هي: $-3$ * تأطير العدد $-\frac{22}{7}$ إلى 1 هو: $-4 < -\frac{22}{7} < -3$ * القيمة المقربة إلى 0,1 بالتفريط هي: $-3,2$ * القيمة المقربة إلى 0,1 بإفراط هي: $-3,1$ * تأطير العدد $-\frac{22}{7}$ إلى 0,1 هو: $-3,2 < -\frac{22}{7} < -3,1$

# ملخص درس: جمع وطرح الأعداد العشرية النسبية --- ## 1. مجموع عددين عشريين ### أ) مجموع عددين عشريين لهما نفس الإشارة * **القاعدة 1:** لحساب مجموع عددين عشريين لهما نفس الإشارة، نُحتفظ بالإشارة المشتركة ثم نجمع مسافتيهما عن الصفر. * **أمثلة تطبيقية:** * $(+6) + (+4) = +(6 + 4) = +10$ * $(-5) + (-7) = -(5 + 7) = -12$ * $58,15 + 112 = 170,15$ * $(-57) + (-514,225) = -(57 + 514,225) = -571,225$ ### ب) مجموع عددين عشريين مختلفين في الإشارة * **القاعدة 2:** لحساب مجموع عددين عشريين مختلفين في الإشارة، نأخذ إشارة العدد الأبعد عن الصفر، ثم نحسب فرق مسافتيهما عن الصفر. * **أمثلة تطبيقية:** * $-36 + 14,11 = -(36 - 14,11) = -21,89$ * $125 + (-45,5) = +(125 - 45,5) = 79,5$ * $-31,65 + 11,5 = -(31,65 - 11,5) = -20,15$ ### ج) مجموع عددين عشريين متقابلين * **القاعدة 3:** مجموع عددين عشريين متقابلين يكون دائماً منعدماً (يساوي صفر). لكل عدد عشري نسبي $a$، لدينا: $$a + (-a) = 0 \quad \text{و} \quad -a + a = 0$$ * **أمثلة تطبيقية:** * $-359,7 + 359,7 = 0$ * $-11258 + 11258 = 0$ --- ## 2. فرق عددين عشريين نسبيين * **القاعدة 4:** لحساب فرق عددين عشريين نسبيين، نضيف إلى الحد الأول مقابل الحد الثاني. باعتبار $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين: $$a - b = a + (-b)$$ * **أمثلة تطبيقية:** * $13,55 - (-12) = 13,55 + 12 = 25,55$ * $-34 - 16 = -34 + (-16) = -50$ --- ## 3. إزالة الأقواس 1. **الأقواس المسبوقة بعلامة (+):** نُزيل علامة (+) ونحذف الأقواس دون تغيير إشارة الأعداد التي بداخلها. 2. **الأقواس المسبوقة بعلامة (-):** نُزيل علامة (-) ونحذف الأقواس مع تغيير إشارة الأعداد التي بداخلها. --- ## 4. حساب تعبير جبري يحتوي على أقواس ومعقوفات * **خطوات الحل:** 1. إزالة الأقواس والمعقوفات تدريجياً بدءاً بالأقواس الداخلية، مع تطبيق قواعد إزالة الأقواس السابقة. 2. تجميع الأعداد المتقابلة فيما بينها، ثم تجميع الأعداد الموجبة معاً والأعداد السالبة معاً لتسهيل الحساب والوصول إلى النتيجة النهائية.

# جذاذات الرياضيات للسنة الأولى إعدادي ## 1. نبذة تاريخية حول تطور الأعداد والعمليات استخدمت مختلف الحضارات قديماً رموزاً وطرقاً خاصّة للتعبير عن الأرقام؛ حيث استعمل الفراعنة الحروف الهيروغليفية، واليونانيون الحروف اليونانية، بينما استخدم الصينيون الحروف الغبارية. ويعود الفضل للعرب في ظهور وتمثيل الأرقام بالشكل الحالي، والمساهمة في نشر كتابة الأعداد في نظام العد العشري عبر إضافة الصفر واستعمال الكتابة الوضعية. كما ابتكر العرب العمليات الحسابية وخصوصاً الضرب الذي يعتمد على الوضع والاحتفاظ، متجاوزين الطرق الأقدم التي اعتمدت على الجموع الجزئية. ## 2. التوجيهات التربوية والكفايات المستهدفة والمكتسبات القبلية * **المكتسبات القبلية:** تعامل التلميذ بالتعليم الابتدائي مع الأعداد الصحيحة الطبيعية والأعداد العشرية الكسرية الموجبة، ممّا يستحسن عدم إعادة تقديمها بالمستوى نفسه. * **الأهداف والكفايات المستهدفة:** * التحسيس باستعمال الحروف في الحساب الجبري اعتباراً لدوره المتزايد في شتى مجالات الحياة، وتوظيفه تدريجياً في تبسيط كتابة التعابير الجبرية. * التأكيد على الأسبقية في إنجاز العمليات. * حساب مجموع، فرق، جداء، وخارج عددين عشريين، وتأطير خارج عددين عشريين. * توظيف خاصيتي النشر والتعميل واستيعاب واستعمال المصطلحات الرياضية الأساسية (حد، مجموع، عامل، جداء، خارج...). * حساب المجاميع الجبرية بدون وبأقواس، واستعمال المحسبة. ## 3. قواعد إنجاز العمليات الحسابية وترتيبها * **العمليات بدون أقواس:** يُبدأ بإنجاز الضرب والقسمة أولاً، ثم تُتبع بالجمع والطرح. * **العمليات بالأقواس:** تُعطى الأسبقية لما بين الأقواس (العادية والمربعة)، بدءاً من الأقواس الداخلية نحو الخارجية إلى أن يصبح التعبير بدون أقواس، مع ضبط مواقع الأقواس بدقة لضمان الصحة الرياضية. * **حساب التعبيرات العددية:** إنجاز حسابات دقيقة لسلاسل عمليات تتضمن العمليات الأربع. ## 4. النشر، التعميل والحساب الحرفي * **النشر (تعويض الجداء بمجموع أو فرق يساويه / الكتابة على شكل مجموع):** لأعداد عشرية وحرفية $a$ و $b$ و $k$: * $k \times (a + b) = ak + kb$ * $k \times (a - b) = ak - bk$ * **التعميل (تعويض المجموع أو الفرق بجداء يساويه / الكتابة على شكل جداء):** * استخراج العامل المشترك لتحويل المجاميع الحرفية إلى جداءات (مثل $ak + kb = k \times (a + b)$ و $ak - bk = k \times (a - b)$، ومثالهما $A = 6X + 6Y$ و $B = 2,5ab - 12,5xy$). * **تبسيط التعبيرات الجبرية:** اختزال المجاميع الجبرية المتضمنة لمتغيرات متشابهة (مثل الحروف $a, t, y, z, m$) عبر جمع وطرح معاملاتها العددية بدقة. * **ملاحظات ترميزية:** يمكن تبسيط كتابة الجداء بحذف رمز الضرب ($\times$) وتعويضه بنقطة (.) أو بفراغ (مثل $(a+b)(a-b)$ أو $ka$ أو $k.a$). ## 5. الحساب الذهني، المحسبة والصعوبات الشائعة * **الحساب الذهني واستعمال المحسبة:** يعتمد الحساب الذهني على تفكيك الأعداد لتسهيل الحساب؛ أمثلة: * حساب $4.25 \times 101 = 4.25 \times 100 + 4.25 \times 1 = 425 + 4.25 = 429.25$ * حساب $2.13 \times 99 = 2.13 \times (100 - 1) = 2.13 \times 100 - 2.13 = 213 - 2.13 = 210.87$ كما يتطلب الاستعمال السليم للآلة الحاسبة إنجاز العمليات والتعامل مع القسمة غير المضبوطة وتحديد الباقي. * **الصعوبات والأخطاء الشائعة:** تتمثل في التعامل مع الأعداد العشرية والعمليات عليها، أخطاء حساب المجاميع الجبرية بالأقواس وبدونها، والصعوبات المرتبطة بالنشر والتعميل واستعمال الصيغ في وضعيات محددة. ## 6. المسائل والوضعيات التطبيقية * **مسألة الأعمار:** صياغة سلسلة عمليات رياضية تعبر عن وضعية مقترحة حول حساب العمر بناءً على مجموع أرجل الحيوانات المملوكة (كلاب، قطط، حمامات). * **مسألة بطولة كرة القدم:** * **قاعدة التنقيط:** منح 3 نقط للفريق المنتصر خارج ملعبه، نقطة واحدة في حالة التعادل، و0 نقطة في حالة الهزيمة. * **استثمار الجدول:** إتمام بيانات جدول البطولة الرياضية (عدد المباريات، الانتصارات داخل وخارج الملعب، التعادلات، الهزائم، والمجموع الإجمالي للنقاط). * **تحديد الفائز:** استخراج الفريق الفائز بالبطولة بناءً على مجموع النقاط المحصل عليها مع تقديم التعليل الرياضي المناسب.

### تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية #### 1. تقديم ومقارنة الأعداد العشرية النسبية **أ- العدد العشري النسبي:** * **الأعداد العشرية الموجبة:** أعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $2$ ؛ $1,4$ ؛ $3,14$ ؛ $11$ ؛ $2,5$. * **الأعداد العشرية السالبة:** أعداد مثل: $0$ ؛ $-2$ ؛ $-1$ ؛ $-0,44$ ؛ $-12$ ؛ $-2,5$. * **ملاحظات أساسية:** * العدد $0$ هو عدد عشري موجب وسالب في آن واحد. * الأعداد مثل: $0$ ؛ $1$ ؛ $-2,8$ ؛ $14$ ؛ $-1$ ؛ $5$ ؛ $-51$ ؛ $11...$ تسمى أعدادا صحيحة نسبية. * العدد مثل $-2,5$ أو $-14,12$ هو عدد عشري نسبي وليس بعدد صحيح نسبي. **ب- المستقيم المدرج:** * **وحدة التدريج:** تدريج مستقيم يعني اختيار نقطتين منه $O$ و $I$ وإسناد العدد $0$ للنقطة $O$ والعدد $1$ للنقطة $I$، ومنه فإن وحدة التدريج هي $[OI]$. * **خصائص المستقيم المدرج:** * تسمى النقطة $O$ أصل المستقيم المدرج، ويسمى طول $[OI]$ وحدة التدريج. * يُمثّل كل عدد عشري نسبي بنقطة واحدة من المستقيم المدرج. * العدد الذي يمكن إسناده لكل نقطة يُسمى **أفصولها**. * أفصول النقطة $A$ هو $3$، وأفصول النقطة $B$ هو $-2$. * مسافة العدد $3$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OA]$ وتساوي $3$، ومسافة العدد $-5$ عن الصفر هي مسافة القطعة $[OP]$ وتساوي $5$. * **المقابل:** العدد $2$ هو مقابل العدد $-2$ (والعدد $-2$ هو مقابل العدد $2$)، ويقال إن العددين $-2$ و $2$ متقابلان. **ج- مقارنة عددين عشريين نسببين:** * **مقارنة عددين مختلفين في الإشارة:** كل عدد عشري موجب أكبر من كل عدد عشري سالب غير منعدم (مثال: $-9 < 2$ ؛ $-25,44 < 1000$). * **مقارنة عددين لهما نفس الإشارة:** * إذا كان عددان عشريان سالبين، فإن أكبرهما هو الأقرب من نقطة الصفر (مثال: $-36 < -1$ ؛ $-1 < -2,5$ ؛ $-36 < -0,1$ ؛ $-2,5 < -1$). * إذا كان عددان عشريان موجبان، فإن أكبرهما هو الأبعد عن نقطة الصفر. * **الرموز المستعملة:** * $a \le b$: تعني $a$ أصغر من أو تساوي $b$ (أي $a b$ أو $a = b$). * أمثلة: $-6 -1$. --- #### 2. عمليات الحساب على الأعداد العشرية النسبية **أ- جمع عددين عشريين نسببيين:** * **قاعدة 1:** مجموع عددين عشريين لهما نفس الإشارة هو عدد عشري لهما نفس الإشارة، ومسافته عن الصفر هي مجموع مسافتيهما عن الصفر (مثال: $(-57,225) + (-514) = - (57,225 + 514)$). * **قاعدة 2:** لحساب مجموع عددين عشريين مختلفين في الإشارة، نأخذ إشارة العدد الأبعد عن الصفر ثم نحسب فرق مسافتيهما عن الصفر (أمثلة: $-36 + 14,11 = -(36 - 14,11) = -21,89$ ؛ $125 + (-45,5) = 79,5$ ؛ $-31,65 + (-11,5) = -43,15$). **ب- فرق عددين عشريين نسبيين:** * **القاعدة:** لحساب فرق عددين عشريين نسبيين، نضيف إلى الحد الأول مقابل الحد الثاني. فإذا كان $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين فإن: $a - b = a + (-b)$. * **أمثلة:** * $12 - (-13,55) = 12 + 13,55 = 25,55$ * $-34 - 16 = -34 + (-16) = -(34 + 16) = -50$ **ج- ضرب الأعداد العشرية النسبية:** * **جداء عددين مختلفين في الإشارة:** هو عدد عشري نسبي سالب (أمثلة: $25,5 \times (-2) = -51$ ؛ $-11,5 \times 50 = -575$). * **جداء عددين لهما نفس الإشارة:** هو عدد عشري نسبي موجب (أمثلة: $-21 \times (-5) = 105$ ؛ $-0,05 \times (-10) = 0,5$). **د- قسمة الأعداد العشرية النسبية:** * **تعريف:** ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين بحيث $b \neq 0$. العدد $q$ الذي يحقق $b \times q = a$ يسمى خارج $a$ على $b$ ويكتب: $q = \frac{a}{b}$ (مثال: بما أن $(-3) \times (-2) = 6$ فإن $\frac{6}{-2} = -3$). * **خارج عددين لهما نفس الإشارة:** هو عدد عشري نسبي موجب (مثال: $-807,95 \div (-13) = 62,15$ ؛ $7,81 \div 1,1 = 7,1$). * **خارج عددين مختلفين في الإشارة:** هو عدد عشري نسبي سالب (مثال: $807,95 \div (-13) = -62,15$ ؛ $-7,81 \div 1,1 = -7,1$). --- #### 3. القوى **أ- قوة عدد عشري نسبي:** * **تعريف:** ليكن $a$ عددا عشريا نسبيا و $n$ عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم: $$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ من العوامل}}$$ * **ملاحظات وتسميات:** * يسمى $a$ أساس القوة، ويسمى $n$ أس القوة. * أمثلة: $5^2 = 5 \times 5 = 25$ ؛ $(-2)^5 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = -32$. * لكل عدد عشري نسبي $a$ غير منعدم: $a^1 = a$ و $a^0 = 1$ (أمثلة: $999^1 = 999$ ؛ $4^0 = 1$). **ب- إشارة قوة أساسها سالب:** تكون قوة أساسها سالب: * **موجبة:** إذا كان أسها عددا زوجيا (مثال: إشارة $(-7)^4$ موجبة). * **سالبة:** إذا كان أسها عددا فرديا (مثال: إشارة $(-5)^3$ سالبة). **ج- قواعد الحساب على القوى:** ليكن $a$ و $b$ عددين عشريين نسبيين، و $n$ و $m$ عددين صحيحين طبيعيين: * $a^n \times a^m = a^{n+m}$ * $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ * $(a^n)^m = a^{n \times m}$ * $a^n \times b^n = (a \times b)^n$ * $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ **د- قوى العدد 10:** لكل عدد صحيح طبيعي $n$: $$10^n = \underbrace{100 \dots 0}_{n \text{ من الأصفار}}$$ * أمثلة: * $10^5 = 100000$ * $10^{11} = 100000000000$ * $10^{22} = 10000000000000000000000$