السنة الثالثة إعدادي

### مفاهيم الدوال (Notions de fonction) #### I - تمثيلات الدالة (Représentations d’une fonction) * **تعريف الدالة:** الدالة هي عملية رياضية تحوّل عدداً معيناً إلى عدد وحيد آخر، حيث يُقابِل أي عدد مدخل عددٌ فريد في المخرج. * **طرق تمثيل الدالة:** تُمثَّل الدالة بثلاث طرائق أساسية: 1. **تعبير جبري (Expression):** صيغة رياضية (مثل: $f(x) = 3x^2 + 5x + 6$). 2. **جدول (Tableau):** جدول قيم يربط المتغير بصورته. 3. **منحنى (Courbe):** تمثيل مبياني في مستوى منسوب إلى معلم. * **الترميز والمصطلحات:** * تُكتب الدالة بإحدى الصيغتين: $f(x) = 3x^2 + 5x + 6$ أو $f : x \mapsto 3x^2 + 5x + 6$. * يُمسي العدد المُدخل ($x$) **سابِقاً** (L'antécédent)، بينما يُسمى العدد الخارج الناتج **صورة** $x$ (L'image). --- #### II - حساب وقراءة الصور (Calcul/lecture d'images) * **تعريف الصورة:** صورة عدد $x$ بواسطة دالة هي العدد الناتِج من الدالة بعد إدخال القيمة $x$ إليها. وللعدد صورة وحيدة دائماً. * **طرائق تحديد الصورة:** 1. **في جدول:** * البحث عن العدد المطلوب على سطر السوابق (سطر $x$). * قراءة الصورة في نفس العمود على سطر الصور (سطر $f(x)$). 2. **في منحنى مبياني:** * البحث عن العدد على محور السوابق (محور الأفاصيل). * رسم خط عمودي (صعوداً أو نزولاً) حتى يتقاطع مع المنحنى في نقطة. * إسقاط هذه النقطة على محور الأرتوب لقراءة قيمة الصورة. 3. **باستخدام تعبير جبري (الحساب):** * تعويض المتغير $x$ بالعدد المعطى داخل تعبير الدالة، ثم إجراء الحساب المباشر (التعويض). --- #### III - حساب وقراءة السوابق (Calcul/lecture d'antécédents) * **تعريف السابقة:** سابقة أو سوابق عدد $y$ بواسطة دالة هي الأعداد التي عند إدخالها إلى الدالة تعطي النتيجة $y$. ويمكن للعدد ألا يمتلك أي سابقة، أو أن يمتلك سابقة وحيدة أو عدة سوابق. * **طرائق تحديد السوابق:** 1. **في جدول:** * البحث عن العدد على سطر الصور (سطر $f(x)$)، حيث قد يتكرر ظهوره عدة مرات. * قراءة السابقة أو السوابق المقابلة في نفس الأعمدة على سطر السوابق (سطر $x$). 2. **في منحنى مبياني:** * البحث عن العدد على محور الصور (محور الأرتوب). * رسم خط أفقي يمر عبر المبيان. * تحديد نقط التقاطع مع المنحنى (قد تكون عديمة، أو نقطة واحدة، أو عدة نقط). * إسقاط نقط التقاطع عمودياً على محور الأفاصيل لقراءة قيم السوابق. 3. **باستخدام تعبير جبري (الحساب):** * إيجاد سوابق عدد $y$ يقتضي حل المعادلة: **$f(x) = y$** (عبر تعويض $f(x)$ بصيغتها الجبرية ومساواتها بـ $y$، ثم حل المعادلة لاستخراج قيمة $x$).

# ملخص درس: هندسة الفضاء (Géométrie dans l'espace) ## 1. الكرة والكرة المغلقة (Sphère et boule) * **الكرة:** مجموعة نقاط الفضاء التي تبعد عن مركزها $O$ مسافة تساوي تمامًا شعاعها $R$ ($OA = OB = OC = R$). * **الكرة المغلقة (Boule):** مجموعة نقاط الفضاء التي تبعد عن المركز $O$ مسافة أصغر من أو تساوي $R$. * **الدائرة الكبرى (Grand cercle):** دائرة مركزها $O$ وشعاعها $R$. * **التمثيل الجغرافي (نموذج الكرة الأرضية):** * القطر $[NS]$ يمثل محور القطبين (الشمالي $N$ والجنوبي $S$). * المريّدن (Meridien): دائرة كبرى تمر عبر القطبين (مثل خط غرينتش). * خط الاستواء: دائرة كبرى واقعة في مستوى عمودي على محور القطبين (تُقاس بواسطتها خطوط العرض، بينما تُقاس خطوط الطول بالنسبة للمريدين). ## 2. مساحة الكرة وحجم الكرة * **مساحة الكرة ذات الشعاع $R$:** $4\pi R^2$ (مثال: شعاع $7\text{ cm}$ يعطي مساحة $196\pi \approx 616\text{ cm}^2$). * **حجم الكرة ذات الشعاع $R$:** $\frac{4}{3}\pi R^3$ (مثال: شعاع $7\text{ cm}$ يعطي حجمًا قدره $\frac{1372}{3}\pi \approx 1437.33\text{ cm}^3$). ## 3. تقاطع كرة بمستوى (Section d’une sphère par un plan) تقاطع كرة (مركزها $O$ وشعاعها $R$) بمستوى $\mathcal{P}$ عمودي على القطر $[NS]$ في النقطة $H$ (حيث $OH$ هي المسافة بين مركز الكرة والمستوى) يعطي **دائرة** وفق الحالات التالية: * **الحالة الأولى ($0 < OH R$):** المستوى لا يقطع الكرة. ## 4. تقاطع المجسمات الأخرى بمستوى * **الأسطوانة (Cylindre):** * بمستوى **موازٍ للقاعدة**: المقطع دائرة لها نفس شعاع قاعدة الأسطوانة. * بمستوى **موازٍ للمحور**: المقطع مستطيل. * **المخروط (Cône):** المقطع بمستوى موازٍ للقاعدة هو دائرة تُعد **تصغيرًا** لدائرة القاعدة؛ شعاع المقطع يساوي $k \times R$ حيث $k$ هو معامل التصغير. * **الهرم (Pyramide):** المقطع بمستوى موازٍ للقاعدة هو مضلع ($A'B'C'D'$) يُعد **تصغيرًا** لمضلع القاعدة ($ABCD$)؛ معامل التصغير $k = \frac{SA'}{SA} = \dots$، وتُضرب أطوال أضلاع القاعدة في $k$ للحصول على أطوال أضلاع المقطع ($A'B' = k \times AB$).

# Fonctions linéaires, fonctions affines --- ## 1. الدوال الخطية (Fonctions linéaires) ### 1.1. التعريف والترميز * **تعريف:** ليكن $a$ عدداً حقيقياً معلوماً وثابتاً. إذا رُبط كل عدد $x$ بجذائه في $a$ (أي $y = a \times x$)، فإننا نعرف **دالة خطية** معاملها $a$، ونرمز لها بـ: $$f: x \mapsto ax$$ * **الترميز والاصطلاح:** تُعبر الكتابة $f(x) = y$ عن صورة العدد $x$ بالدالة $f$. على سبيل المثال، إذا كانت $f(0,8) = 3,2$، فإن صورة العدد $0,8$ بالدالة $f$ هي $3,2$. * **الارتباط بالتناسب:** تُمثل الدالة الخطية وضعية تناسبية معامل تناسبها هو $a$؛ للانتقال من عدد إلى صورته، نضرب في المعامل $a$. ### 1.2. النسبة المئوية والدوال الخطية تُستعمل الدوال الخطية للتعبير عن نسب الزيادة والنقصان: * **أخذ نسبة مئوية:** أخذ $15\%$ من العدد $x$ يعادل إجراء العملية $x \times \frac{15}{100}$، وترتبط بها الدالة الخطية $x \mapsto 0,15x$. * **التخفيض (التقليص):** تخفيض عدد $x$ بنسبة $12\%$ يعادل $x \times \left(1 - \frac{12}{100}\right) = 0,88x$ (الدالة المرتبطة: $x \mapsto 0,88x$). * **الزيادة:** زيادة عدد $x$ بنسبة $3\%$ تعادل $x \times \left(1 + \frac{3}{100}\right) = 1,03x$ (الدالة المرتبطة: $x \mapsto 1,03x$). ### 1.3. التمثيل البياني والقراءة البيانية * **الممثل البياني:** في معلم، الممثل البياني لدالة خطية معاملها $a$ هو مستقيم يمر من أصل المعلم، وتكتب معادلته على الشكل $y = ax$. * **تحديد المعامل:** يُحدد معامل الدالة الخطية بمعرفة عدد غير منعدم وصورته عبر العلاقة: $a = \frac{f(x)}{x}$. * **القراءة البيانية:** يُمكّن التمثيل البياني من قراءة صورة عدد معين (بالانطلاق من محور الأباصيل نحو المستقيم ثم نحو الأرابت) أو قراءة العدد الذي له صورة معينة. --- ## 2. الدوال التألفية (Fonctions affines) ### 2.1. التعريف والترميز * **تعريف:** ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين معلومين وثابتين. إذا رُبط كل عدد $x$ بالعدد $ax + b$، فإننا نعرف **دالة تألفية**، نرمز لها بـ: $$f: x \mapsto ax + b$$ * **الدالة الخطية المرتبطة:** يُطلق على التعبير $x \mapsto ax$ اسم الدالة الخطية المرتبطة بالدالة التألفية $x \mapsto ax + b$. * **طريقة الحساب:** للانتقال من عدد $x$ إلى صورته، نضرب أولاً في $a$ ثم نضيف $b$. * **حالة خاصة:** عندما يكون $b = 0$، تصبح الدالة التألفية دالة خطية ($f: x \mapsto ax$). ### 2.2. التمثيل المبياني والعناصر المميزة * **الخصائص الهندسية:** في معلم، التمثيل المبياني لدالة تألفية هو مستقيم $(d)$ يمر من النقطة ذات الإحداثيات $(0; b)$ ويوازي المستقيم الممثل للدالة الخطية المرتبطة بها ($x \mapsto ax$). * **معادلة المستقيم:** تُكتب معادلته على الشكل $y = ax + b$، حيث: * يُسمى $a$ **المعامل الموجه** (coefficient directeur). * يُسمى $b$ **الأروب عند الأصل** (ordonnée à l'origine). * **مثال تأويلي:** بالنسبة للمستقيم $(d)$ الممثل للدالة التألفية $x \mapsto -0{,}7x + 1{,}5$، المعامل الموجه هو $-0{,}7$ والأروب عند الأصل هو $1{,}5$. ### 2.3. القراءة المبيانية لصور الأعداد والأعداد ذات الصور المعينة * **قراءة صورة عدد:** لتحديد صورة عدد معين (مثل $-2$) على التمثيل المبياني، يُبدأ بتحديد نقطة المستقيم ذات الأبصول $-2$ ثم يُقرأ أروبها، هكذا يُقْرأ أن صورة $-2$ هي $5$ (أي $f(-2) = 5$). * **قراءة العدد ذي الصورة المعينة:** لإيجاد عدد صورته معينة (مثل $-1{,}6$)، يُحدد أولاً نقطة المستقيم ذات الأروب $-1{,}6$ ثم يُقرأ أبصولها، هكذا يُقْرأ أن العدد الذي صورته $-1{,}6$ هو $2{,}4$ (أي $f(2{,}4) = -1{,}6$). ### 2.4. تحديد تعبير دالة تألفية يمكن تحديد تعبير دالة تألفية $f: x \mapsto ax + b$ بطريقتين أساسيتين: 1. **بمعرفة عددين وصورتيهما (حل نظام معادلتين):** * **مثال:** لتكن $f$ دالة تألفية حيث $f(1) = 4$ و $f(3) = 8$. * من $f(1) = 4$ نحصل على المعادلة: $1a + b = 4$. * من $f(3) = 8$ نحصل على المعادلة: $3a + b = 8$. * بطرح المعادلتين طرفاً من طرف: $(1a + b) - (3a + b) = 4 - 8$، أي $-2a = -4$، ومنه $a = 2$. * بالتعويض بقيمة $a$ في المعادلة الأولى ($2 + b = 4$)، نجد $b = 2$. * إذن التعبير هو: $x \mapsto 2x + 2$. 2. **بتناسبية التزايدات (Proportionnalité des accroissements):** * لا تمثل الدالة التألفية وضعية تناسبية، غير أن تزايداتها تكون متناسبة مع تزايدات المتغير $x$. * **خاصية:** إذا تغير $x$ بمقدار $h$ (بحيث $x_1 - x_2 = h$)، فإن صورته تتغير بمقدار $ah$ (أي $f(x_1) - f(x_2) = ah$)، حيث معامل التناسب هو المعامل الموجه $a$. * **تطبيق:** لتكن $f$ دالة تألفية حيث $f(1) = 5$ و $f(4) = 7$. * **حساب $a$:** نظراً لتناسب التزايدات، فلدينا $f(4) - f(1) = a(4 - 1)$، أي $7 - 5 = 3a$، ومنه $a = \frac{2}{3}$. * **حساب $b$:** بما أن $f(1) = 1a + b = \frac{2}{3} + b = 5$، فإن $b = 5 - \frac{2}{3} = \frac{13}{3}$. * إذن الدالة التألفية المطلوبة هي: $f: x \mapsto \frac{2}{3}x + \frac{13}{3}$.

# ملخص امتحان جهوي في مادة الرياضيات - السنة الثالثة إعدادي **معلومات عامة عن المورد:** - **المستوى الدراسي:** السنة الثالثة إعدادي (3ième ASC - Collège). - **المؤسسة:** إعدادية القاضي عياض (Collège Cadi Ayad) - ورزازات (Ouarzazate). - **الدورة:** دورة يونيو 2020 (SESSION JUIN 2020). - **الأستاذ المعد:** بدر الدين الفاتيحي (Professeur Badr Eddine El Fatihi). - **المجموعات المستهدفة:** 3/5 و 3/6 (المعامل: 3). --- ## محاور التمارين والمسائل الواردة في الامتحان ### التمرين الأول: المعادلات، المتراجحات والنظمات (05,00 نقاط) 1. **حل المعادلات:** - المعادلة الأولى: $2(4x - 3) = 3x + 6$ - المعادلة الثانية: $2x(x + \sqrt{2}) - \sqrt{3}(x + \sqrt{2}) = 0$ 2. **حل المتراجحة:** - المتراجحة: $\frac{2x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} \ge 1$ 3. **حل النظمة الخطية بالطريقة الجبرية:** $$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$$ ### التمرين الثاني: الإحصاء (02,00 نقاط) - دراسة توزيع عدد الغرف في منازل حي معين (التمثيل المبياني للمنازل وعدد الغرف): - إتمام الجدول الإحصائي المرتبط بالمعطيات. - تحديد الوسيط (Médiane) لهذه السلسلة الإحصائية. - حساب المعدل الحسابي (Nombre moyen) لعدد الغرف في منازل هذا الحي. ### التمرين الثالث: الهندسة التحليلية (04,00 نقاط) - في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$، نعتبر النقطتين: $A(1, 1)$ و $B(2, 3)$. - تحديد إحداثيات المتجهة $\vec{AB}$. - حساب المسافة $AB$. - التحقق من المعادلة المختصرة للمستقيم $(AB)$. - التحقق من إحداثيات النقطة $I$ منتصف القطعة $[AB]$. - تحديد المعادلة المختصرة للمستقيم $(D)$ واسطة القطعة $[AB]$. - تحديد المعادلة المختصرة للمستقيم المار من النقطة $B$ والموازي للمستقيم $(D)$. ### التمرين الرابع: الإزاحة والزوايا (02,00 نقاط) - ليكن $ABC$ مثلثا قائم الزاوية في $A$. - إنشاء النقطة $D$ صورة النقطة $A$ بالإزاحة ذات المتجهة $\vec{BC}$. - دراسة توازي وتعامد المستقيمات (المستقيم المار من $D$ والموازي لـ $(AC)$). - إثبات أن نقطة محددة هي صورة النقطة $C$ بالإزاحة ذات المتجهة $\vec{BC}$. - إثبات أن الزاوية $\widehat{CDE}$ زاوية قائمة. ### التمرين الخامس: الدوال العددية: التآلافية والخطية (04,00 نقاط) 1. **الدالة التآلافية $f$:** - الاعتماد على التمثيل المبياني $(D)$ للدالة التآلافية $f$ في معلم $(O, I, J)$. - تحديد قيمة $f(2)$ والعدد الذي صورته $5$ بالدالة $f$ (مبيانياً). - إثبات أن التعبير الجبري للدالة هو: $f(x) = 5x - 1$. 2. **الدالة الخطية $g$:** - تحديد صيغة الدالة الخطية $g$ التي تحقق شرطاً معطى. - إثبات أن: $g(x) = 2x$. - حساب العدد الذي صورته $2$ بالدالة $g$. - إنشاء التمثيل المبياني للدالة $g$ في معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$. ### التمرين السادس: الهندسة الفضائية - الموصور القائم (03,00 نقاط) - ليكن $ABCDEFGH$ متوازي المستطيلات (Pavé droit) حيث: $AB = 8\text{cm}$ و $AD = AE = 3\text{cm}$، وليكن $I$ منتصف القطعة $[AB]$. - إثبات أن المثلث $HDI$ قائم الزاوية في $D$. - حساب المسافة $HI$. - حساب حجم $V$ للجسم الصلب $HDAI$ وإثبات أن $V = 6\text{cm}^3$. - حساب حجم الجسم الصلب $HDAI$ بعد إخضاعه لتكبير (Agrandissement) بنسبة $3$.

### ملخص الامتحان المحلي في مادة الرياضيات - السنة الثالثة إعدادي (دورة يناير 2025) **معلومات عامة حول الامتحان:** * **المؤسسة:** إعدادية الإلوز إفورار. * **المديرية الإقليمية:** أزيلال. * **الأكاديمية الجهوية:** بني ملال خنيفرة. * **المستوى:** السنة الثالثة إعدادي. * **المادة:** الرياضيات. * **المعامل:** 1. --- ### محاور الامتحان ومكوناته الأساسية #### التمرين الأول (6,5 نقطة): الحسابيات والجبر * **الحساب والتبسيط:** حساب وتخفيض تعابير تحتوي على جذور مربعة وأسس، وتحديد القيم العددية. * **جعل المقام عدداً جذرياً:** تحويل مقامات الأعداد الكسرية التي تتضمن جذوراً مربعة إلى أعداد صحيحة. * **الكتابة العلمية:** التعبير عن الأعداد بكتابتها العلمية الصحيحة. * **النشر والتعميل:** * تطوير وتخفيض تعابير جبرية باستخدام المتطابقات الهامة. * إثبات متساويات جبرية وتحليلها إلى جداء عوامل. #### التمرين الثاني (4 نقاط): الترتيب والتأطير * **مقارنة الأعداد:** مقارنة أعداد تتضمن جذوراً مربعة (مثل مقارنة $2\sqrt{11}$ و $3\sqrt{5}$) واستنتاج مقارنة تعابير ناتجة عنها بإضافة أو طرح ثوابت. * **التأطير:** تأطير مجموع ($a+b$)، فرق ($a-b$)، وجداء ($a \times b$) لعددين حقيقيين $a$ و $b$ محصورين بين مجالات معينة. #### التمرين الثالث (الهندسة المثلثية ومبرهنة فيثاغورس) * **المثلث القائم الزاوية:** إثبات أن مثلثاً معين الأطوال هو مثلث قائم الزاوية بالاعتماد على مبرهنة فيثاغورس العكسية. * **الحساب المثلثي:** حساب جيب تمام وزاوية، وجيبها، وظلها ($\cos, \sin, \tan$) لزوايا محددة في المثلث. * **حساب الأطوال:** استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب أطوال قطع مستقيمة جديدة (مثل $MC$). * **العلاقات المثلثية:** حساب قيم النسب المثلثية لزاوية حادة انطلاقاً من قيمة معلومة لجيب تمامها. #### التمرين الرابع (2,5 نقطة): مبرهنة طاليس والتوازي * **حساب الأطوال:** حساب أطوال أضلاع في مثلث باستخدام مبرهنة طاليس في حالة وجود مستقيمات متوازية ($(MN)//(BC)$). * **إثبات التوازي:** البرهان على توازي مستقيمين بالاعتماد على القيم المحسوبة والمعطيات الهندسية. #### التمرين الخامس (نقطتان): الزوايا والدائرة * **طبيعة المثلث:** دراسة خواص مثلث متقايس الأضلاع مرسوم داخل دائرة مركزها $O$. * **الزوايا في الدائرة:** * تحديد وتمييز الزوايا المحيطية والزوايا المركزية في الجدول المناسب. * استنتاج وحساب قياسات الزوايا المركزية والمحيطية المرتبطة بها (مثل $\hat{AOB}$ و $\hat{AMB}$).

**النشر، التعميل والمتطابقات الهامة (السنة الثالثة إعدادي)** **الكفاءات والقدرات المستهدفة:** تستهدف الأنشطة ضمان إتقان نشر التعبيرات البسيطة، بينما يركز العمل على التعميل في حالات بسيطة جداً. كما يُراعى توظيف الحساب الحرفي في وضع المعادلات وحل المسائل، وتعزيز مهارات الحساب على القوى (لا سيما قوى العدد 10). --- ### 11.1 نشر جداء (Développer un produit) يُقصد بنشر الجداء تحويله إلى مجموع جبري (وهو سلسلة من عمليات الجمع والطرح المتضمنة لأعداد و/أو حروف). ولتحقيق ذلك، توجد عدة وسائل أساسية: #### 11.1.1 التوزيعية البسيطة: * $k(a + b) = ka + kb$ * $k(a - b) = ka - kb$ #### 11.1.2 التوزيعية المزدوجة: * $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ #### 11.1.3 المتطابقات الهامة: * **مربع مجموع:** $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ * **مربع فرق:** $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ * **جداء مجموع في فرق:** $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ --- ### 11.2 تعميل مجموع جبري (Factoriser une somme algébrique) يُقصد بتعميل مجموع جبري تحويله إلى جداء (وهو العملية العكسية للنشر). #### 11.2.1 باستعمال عامل مشترك: تُستخدم خاصية التوزيعية البسيطة ولكن "بطريقة عكسية": * $ka + kb = k(a + b)$ * $ka - kb = k(a - b)$ #### 11.2.2 باستعمال المتطابقات الهامة: تُستخدم المتطابقات الهامة "في الاتجاه المعاكس": * $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ * $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ * $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

# ملخص فرض منزلي/محروس في الرياضيات - مستوى الأولى باكالوريا **معلومات عامة عن المورد:** * **المستوى الدراسي:** السنة الأولى باكالوريا (Niveau BAC - شعب الرياضيات والعلوم). * **إطار الاختبار:** الفرض الكتابي المحروس رقم 1 من الأسدس الأول. * **تاريخ الإنجاز:** الخميس 17 أكتوبر 2019. * **الموسم الدراسي:** 2019 / 2020. * **المصدر:** موقع www.talamidi.com. --- ### محاور ومضمون الاختبار (التمارين والتطبيقات) يحتوي الفرض على ثمانية تمارين رئيسية تغطي مفاهيم الحسابيات، الحساب الحرفي، الجذور التربيعية، القوى، والمعادلات، بالإضافة إلى الهندسة المستوية: 1. **التمرين الأول (3 نقاط):** * مخصص لحساب وتبسيط مجموعة من الأعداد (المحددة برموز $A$ و $B$ و $C$) وفق قواعد العمليات على الأعداد الحقيقية والجذرية. 2. **التمرين الثاني (نقطتان):** * يتعامل مع عدد حقيقي غير منعدم $a$، ويطلب كتابة التعبيرين الحرفيين $E$ و $F$ على شكل قوى لأسس صحيحة. 3. **التمرين الثالث (2.5 نقاط):** * يدرس أعداداً جذرية غير منعدمة $a$ و $b$ عبر المراحل التالية: * إثبات التعبير الحرفي: $M = a^5 b^4$. * حساب القيمة العددية للعدد $M$ علمًا أن: $a = 4 \times 10^{-2}$ و $b = 10^2$. * تحديد الكتابة العلمية للعدد $M$. 4. **التمرين الرابع (3 نقاط):** * يتعلق بالنشر والتعميل وحل المعادلات باستخدام المتطابقات الهامة من خلال التعبير $N = (3x+1)^2 - (x-3)^2$: * نشر وتعميل التعبير $N$. * إثبات التساوي: $N = (4x-2)(2x+4)$. * حساب قيمة التعبير $N$ من أجل القيمة العددية $x = -2$. * حل المعادلة الجبرية: $N = 0$. 5. **التمرين الخامس (5 نقاط):** * يركز على تبسيط التعبيرات العددية والجذور التربيعية المعقدة: * تبسيط مجموع جذور وكسور عددية (مثل الحدود المتضمنة لـ $\sqrt{48}$، $\sqrt{18}$، و $\sqrt{50}$). * حساب وتبسيط المجاميع المكونة من متطابقات هامة للجذور (مثل التعبير $J = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$). * حساب تبسيطات تعابير متضمنة لضرب الجذور والقوى المرتكزة على أعداد صحيحة وحقيقية (مثل التعبيرات $K$ و $L$ و $Y$). 6. **التمرين السادس (نقطة واحدة):** * أ) نشر وتعميل متطابقة هامة مرتبطة بالجذور التربيعية (مثل $(3 - \frac{\sqrt{3}}{...})^2$). * ب) استنتاج القيمة العددية لتبسيط تعبير جذري بناءً على نتيجة السؤال السابق. 7. **التمرين السابع (1.5 نقطة):** * إزالة الجذر التربيعي من مقام الأعداد الكسرية (جعل المقام عددًا جذريًا) لمجموعة من الأعداد (من بينها العدد $Q$ وأعداد أخرى تتضمن جذوراً في المقام مثل $\sqrt{2}$ و $2-\sqrt{2}$ و $3+2\sqrt{2}$). 8. **التمرين الثامن (نقطتان):** * **المجال الهندسي (مبرهنة طاليس):** * معطيات المثلث $EFG$ حيث: $EF = 6\text{ cm}$، و قياس زاوية محددة، و $FG = 4.5\text{ cm}$. * النقطة $A$ تنتمي إلى القطعة $[EF]$ بحيث $EA = 2\text{ cm}$. * المستقيم المار من $A$ الموازي لـ $(FG)$ يقطع الضلع $[EG]$ في النقطة $B$. * المطلوب: حساب المسافتين $EB$ و $AB$ اعتماداً على خاصيات التناسبية في المثلث (مبرهنة طاليس المباشرة).

**ملخص درس / واجب منزلي في مادة الرياضيات** * **المؤسسة:** إعدادية النهضة (Collège NAHDA) * **المستوى الدراسي:** الثالثة إعدادي (3APIC) * **المادة:** الرياضيات * **السنة الدراسية:** 2019/2020 * **الأستاذ:** عبد الإله بوطيب (Abdelilah BOUTAYEB) * **نوع المورد:** فرض منزلي رقم 1 (Devoir à la maison N°1) --- ### **مكونات الفرض ومحاور التمارين:** #### **التمرين الأول: الحسابيات والجذور التربيعية** 1. **حساب قيم أعداد تتضمن جذوراً مربعة وقوى:** * حساب تعبيرات تشمل مربعات وقوى الأعداد (مثل: $A = (-\sqrt{25})^2$ و $B = \sqrt{10^6}$ و $C = \sqrt{3}\times\sqrt{12}$). 2. **تبسيط تعبيرات تحتوي على جذور تربيعية:** * تبسيط مجموع جذور تربيعية مختلفة (مثل: $A = -\sqrt{54} + 4\sqrt{24} + 3\sqrt{6}$ و $B$ و $C = \sqrt{98} + \dots$ و $D = 2\sqrt{63} - 4\sqrt{28} - \sqrt{175}$). #### **التمرين الثاني: إزالة الجذر من المقام وحل المعادلات** 1. **إزالة الجذر التربيعي من المقام:** * كتابة كسور عددية وجذرية بدون جذر في المقام لتسيهل الحساب. 2. **حل المعادلات:** * إيجاد حلول معادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد (مثل: $-5x^2 + 3 = 0$ و $4x^2 + 2 = 1$). #### **التمرين الثالث: الحساب الحرفي، القوى، والكتابة العلمية** 1. **النشر والتبسيط:** * نشر وتخفيف تعبيرات جبرية حرفية تتضمن جذوراً مربعة وأقواسًا متعددة. 2. **التعميل والختزال:** * تفكيك وتعميل حدود جبرية متعددة المتغيرات والأعداد (تعميل تعبيرات تحتوي على مجاهيل مثل $x$ وحروف أخرى مثل $a, b, c$). 3. **حساب القوى والكسور:** * إجراء عمليات حسابية متقدمة على القوى الصحيحة (الأسس) والكسور العددية. 4. **الكتابة العلمية:** * تحويل أعداد عشرية وكبيرة إلى صيغة الكتابة العلمية (الترميز العلمي باستخدام القوى للعدد 10).

# ملخص درس: الحسابيات والحساب الرقمي (Arithmétique et calcul numérique) ## 1. قواسم عدد (Diviseurs d’un nombre) **طريقة إيجاد قائمة قواسم عدد:** 1. يُرسم خط عمودي، ويُكتب الرقم 1 في العمود الأيسر والعدد المطلوب في العمود الأيمن. 2. تُجرى محاولة قسمة العدد على 2: إذا كان الخارج عدداً صحيحاً، يُكتب 2 في اليسار والخارج في اليمين. 3. تُكرر الخطوة السابقة مع 3، ثم 4، وهكذا تصاعدياً. 4. التوقف عن القسمة بمجرد أن يصبح العدد المراد القسمة عليه موجوداً مسبقاً في العمود الأيمن. 5. تُكتب القائمة النهائية مرتبة من الأعلى إلى الأسفل في العمود الأيسر، ثم متابعة الصعود من الأسفل إلى الأعلى في العمود الأيمن. **ملاحظات أساسية:** - عندما يكون العدد مربعاً لعدد آخر، فإنه يظهر مرتين في جدول القسمة ولكن يُكتب مرة واحدة فقط في قائمة القواسم. **أمثلة تطبيقية:** - **قواسم العدد 63:** 1، 3، 7، 9، 21 و63. - **قواسم العدد 360:** 1، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 24، 30، 36، 40، 45، 60، 72، 90، 120، 180 و360. - **قواسم العدد 47:** بما أنه عدد أوليوأو قليل القواسم، فإن قواسمه هي 1 و47 فقط. --- ## 2. الأعداد الأولية (Nombres premiers) **التعريف:** - العدد الأولي هو كل عدد يقبل بالضبط قاسمين رئيسيين مختلفين وهما: 1 وفسه. **أمثلة:** - الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89 و97. - الأعداد غير الأولية مثل 15 (يقبل القسمة على 1، 3، 5 ولنفسه)، 12 (عدد زوجي يقبل القسمة على 2)، و121 (قواسمه هي 1، 11 و121). --- ## 3. التفكيك إلى جداء عوامل أولية (Décomposition en produit de facteurs premiers) **الخاصية الأساسية:** - كل عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2 يمكن تفكيكه بطريقة فريدة ووحيدة إلى جداء أعداد أولية. **طريقة التفكيك:** - يُبحث عن القواسم الأولية بترتيب تصاعدي (بالبدء من 2، ثم 3، 5، 7، إلخ) مع كتابة العدد على اليسار، ويُستمر في القسمة على نفس العوامل حتى الوصول إلى النتيجة 1. **أمثلة:** - **تفكيك العدد 180:** $$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$ - **تفكيك العدد 1600:** $$1600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^6 \times 5^2$$ - **باستعمال الآلة الحاسبة:** يمكن إدخال العدد المُراد تفكيكه متبوعاً بمفاتيح التحويل الخاصة بالآلة دون الحاجة للضغط على زر التساوي (=). --- ## 4. الكسور غير القابلة للاختزال (Fractions irréductibles) **الخاصية:** - لجعل الكسر غير قابل للاختزال، يُفكك كل من البسط والمقام إلى جداء عوامل أولية، ثم تُختزل العوامل الأولية المشتركة بينهما. **مثال تطبيقي:** $$\frac{1600}{180} = \frac{2^5 \times 5^2}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5} = \frac{2^4 \times 5}{3^2} = \frac{80}{9}$$ **ملاحظة:** - تتيح الآلة الحاسبة إرجاع الكسر في شكله غير القابلة للاختزال بشكل آلي، لكنها لا تُقدم خطوات التحرير والشرح التفصيلية المرتبطة بالعملية.