السنة الثالثة إعدادي

تنزيل فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي للدورة الثانية-1 PDF يمكنك تنزيل فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي للدورة الثانية-1 بصيغة pdf بسهولة عبر النقر على زر التتنزيل أسفله.

**ملخص فروض الرياضيات للسنة الثالثة إعدادي (الدورة الأولى)** **تقديم عام:** يحتوي المورد على نموذجين لفرض محروس في مادة الرياضيات مخصص للسنة الثالثة إعدادي، ويغطي محاور أساسية في الحساب الجبري، القوى، والكتابة العلمية، إضافة إلى مسائل التناسبية. --- ### المحور الأول: الحساب العددي والعمليات * **القيم المطلقة والكسور:** يتم إجراء حسابات تتضمن قيمًا مطلقة (مثل $|-4,5| + |+4,1| - 2,8$ و $|-4,2| + |+4,1| - 2,4$)، وعمليات جمع على الأعداد الكسرية (مثل $\frac{3}{5} + \frac{4}{8}$). * **القوى والكتابة العلمية:** * تبسيط تعابير كسرية تحتوي على قوى العدد 10 (مثل العدد $K = \frac{a \times 10^5 \times 0,006}{a \times 10^4}$ والنموذج المرتبط به بـ $0,003$). * كتابة أعداد عشرية وصحيحة كتابة علمية (مثل: $0,006$، $3000000$، $0,003$، $6000000$). * استنتاج الكتابة العلمية للتعابير العددية بعد تبسيطها. --- ### المحور الثاني: النشر، التبسيط والتعميل باعتبار $x$ عددًا حقيقيًا، يتناول المورد دراسة تعابير جبرية متعددة ($A$، $B$، $C$، $D$) وفق النماذج التالية: 1. **النموذج الأول:** * $A = x(x+2) + x(x-3)$ * $B = (x+6)^2$ * $C = x(x+3) - x - 3$ * $D = x^2 - 10x + 25$ 2. **النموذج الثاني:** * $A = x(x-2) + x(x+3)$ * $B = (x+3)^2$ * $C = x(x+4) - x - 4$ * $D = x^2 - 12x + 36$ * **المهام المطلوبة:** * نشر وبسط التعابير $A$ و $B$ و $C$. * تعميل التعابير $A$ و $B$ و $C$ و $D$. --- ### المحور الثالث: التناسبية * **مسائل التناسب:** إيجاد عددين حقيقيين $x$ و $y$ علما أنهما متناسبان على التوالي مع العددين 3 و 2 (أو 5 و 4 في النموذج الثاني)، مع توفر علاقة الفارق بينهما ($x - y = 7$).

# ملخص درس: المتطابقات الهامة والنشر والتعميل (السنة الثالثة إعدادي) ## 1. بطاقة الدرس ومكتسباته * **العنوان:** المتطابقات الهامة (ضمن درس النشر والتعميل). * **المكتسبات القبلية:** الأسبقية في العمليات، النشر والتعميل، الفيزياء. * **القدرات المستهدفة:** توظيف المتطابقات الهامة في الاتجاهين، حل المعادلات، وتوظيفها في الدوال. * **الوسائل الديداكتيكية:** الكتاب المدرسي، السبورة، الطباشير، المسطرة، الكوس. --- ## 2. النشر والتعميل ### أ. التعاريف الأساسية * **النشر:** هو كتابة مجموع أو فرق على شكل جداء. * **التعميل:** هو كتابة جداء على شكل مجموع أو فرق. ### ب. الخاصيات إذا كانت $k$ و $a$ و $b$ أعداداً حقيقية، فإن: * $k(a + b) = k \times a + k \times b$ * $k(a - b) = k \times a - k \times b$ وإذا كانت $a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداداً حقيقية، فإن نشر جداء مجموعين يتم كالتالي: * $(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$ ### ج. أمثلة تطبيقية * **أمثلة النشر:** * $A = \sqrt{5}x(x + 2) = \sqrt{5}x \times x + \sqrt{5}x \times 2 = \sqrt{5}x^2 + 2\sqrt{5}x$ * $B = 2(x - 5) = 2 \times x - 2 \times 5 = 2x - 10$ * **أمثلة التعميل:** * $A = x^2 - 3x = x \times x - 3 \times x = x(x - 3)$ * $B = 2y - 6 + xy - 3x = 2(y - 3) + x(y - 3) = (2 + x)(y - 3)$ --- ## 3. المتطابقات الهامة ### أ. الخاصيات إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين، فإن: 1. **مربع مجموع:** $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ 2. **مربع فرق:** $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ 3. **جداء مجموع وفرق:** $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$ ### ب. أمثلة تطبيقية * **نشر تعبير باستخدام المتطابقات الهامة:** $$(y - 3)^2 = y^2 - 2 \times 3 \times y + 3^2 = y^2 - 6y + 9$$

# الهندسة الفضائية: المساحات والحجوم ## 1. تعامد مستقيم ومستوى * **تعريف:** يكون المستقيم $(D)$ عمودياً على المستوى $(P)$ في نقطة $O$ إذا كان عمودياً في النقطة ذاتها على مستقيمين من $(P)$ متقاطعين في $O$. * **نتيجة:** إذا تعامد مستقيم مع مستوى، فإنه يكون عمودياً على جميع المستقيمات الضمنية الموجودة ضمن ذلك المستوى. * **ملاحظة:** تبقى جميع خصائص الهندسة المستوية صحيحة في كل مستوى في الفضاء. ## 2. توازي مستقيم ومستوى * إذا لم يشترك المستقيم $(D)$ مع المستوى $(P)$ في أي نقطة، أو إذا كان $(D)$ ضمن $(P)$، فإن $(D)$ يوازي $(P)$. ## 3. مبرهنة فيثاغورس في الفضاء * **مبرهنة فيثاغورس المباشرة:** تُطبق في المثلثات القائمة الزاوية الناتجة عن التقاطعات العمودية في المجسمات (مثل متوازي المستطيلات القائم)، حيث يُحسب الوتر تربيعاً بدلالة مجموع مربعي الضلعين الآخرين (مثال: $BH^2 = DB^2 + DH^2$). * **مبرهنة فيثاغورس العكسية:** تُستخدم لإثبات أن مثلثاً ما في الفضاء قائم الزاوية، وذلك بتحقيق متساوية فيثاغورس بين أطوال أضلاعه. ## 4. خاصية طاليس في الفضاء * **خاصية طاليس المباشرة:** إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث أو مستقيمين في مستوى (ضمن شروط التوازي مثل $(EF)//(CD)$)، تشكل نسب متناسبة بين الأطوال (مثال: $\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{CD}$). * **خاصية طاليس العكسية:** تُستخدم لإثبات توازي مستقيمين في الفضاء بناءً على تساوي النسب بين الأطوال المتقابلة. ## 5. حساب الحجوم والمساحات * **الموشور القائم:** * الحجم: $V = B \times h$ (حيث $B$ مساحة القاعدة و $h$ الارتفاع). * المساحة الكلية: $S = 2B + ph$ (حيث $p$ محيط القاعدة). * **متوازي المستطيلات:** * الحجم: $V = a \times b \times c$ * المساحة الكلية: $S = 2(ab + bc + ca)$ * **المكعب:** * الحجم: $V = a^3$ * المساحة الكلية: $S = 6a^2$ * **الهرم:** * الحجم: $V = \frac{1}{3} B \times h$ ## 6. التكبير والتصغير في الفضاء * يُستخرج شكل مشابه لشكل أصلي بضرب أبعاده في عدد حقيقي $k$ موجب قطعا ويخالف 1: * **التكبير:** عندما يكون $k > 1$. * **التصغير:** عندما يكون $0 < k < 1$ (نسبة التصغير $k$). * **تأثير المعامل $k$ على القياسات:** * تُضرب الأطوال في $k$. * تُضرب المساحات في $k^2$. * يُضرب الحجم في $k^3$.

# النظمات: نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين ## 1. تعريف النظمة تُكتب نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين $x$ و $y$ على الشكل التالي: $$\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c' = 0 \end{cases}$$ حيث $a, b, c$ و $a', b', c'$ أعداد حقيقية، وحيث $x$ و $y$ هما المجهولان الحقيقيان. ويُقصد بحل النظمة تحديد الأزواج $(x; y)$ التي تحقق معادلتي هذه النظمة في آن واحد. --- ## 2. الحل الجبري لنظمة معادلتين يُعد الحل الجبري نوعين أساسيين: * **طريقة التعويض:** تعتمد على استخراج أحد المجهولين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين، ثم تعويض قيمته في المعادلة الأخرى لحساب المجهول الأول، ومن ثم استنتاج المجهول الثاني. * **طريقة التآلفية الخطية:** تعتمد على ضرب طرفي إحدى المعادلتين أو كلتيهما في أعداد مناسبة للحصول على معاملات متقابلة لأحد المجهولين، ثم جمع المعادلتين المحصل عليهما طرفاً بطرف للتخلص من أحد المجهولين وإيجاد الآخر. --- ## 3. الحل المبياني لنظمة معادلتين يعتمد الحل المبياني على ربط النظمة بمستقيمين $(D_1)$ و $(D_2)$ في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم $(O, I, J)$ وتحديد إحداثيات نقطة تقاطعهما: * إذا كان للمستقيمين ميلان مختلفان، فهما مستقيمان متقاطعان، وللنظمة حل وحيد هو زوج إحداثيتي نقطة تقاطع المستقيمين. * **ملاحظات هامة:** * **إذا كان للمستقيمين نفس الميل:** فهما متوازيان قطعاً، والنظمة ليس لها حل. * **إذا كان للمستقيمين نفس الميل ونفس الأرتوب عند الأصل:** فهما متوازيان منطبقان، وللنظمة ما لا نهاية من الأزواج. --- ## 4. مسائل تؤول في حلها إلى نظمة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين لحل مسألة رياضية باستخدام النظمات، تتبع المراحل التالية: 1. **اختيار المجهولين:** تحديد المتغيرات المراد حسابها (مثل عدد التلاميذ وعدد الأساتذة). 2. **صياغة النظمة:** ترجمة معطيات المسألة إلى معادلتين رياضياتين تشكلان النظمة. 3. **حل النظمة:** تطبيق إحدى الطرق الجبرية (التعويض أو التآلفية الخطية). 4. **التحقق من الحل:** التأكد من مطابقة القيم المحصل عليها لظروف وشروط المسألة والنظمة. 5. **الرجوع إلى المسألة:** تقديم الإجابة النهائية والواضحة لأسئلة المسألة المطروحة.

# ملخص درس: النشر والتعميل - المتطابقات الهامة **المستوى الدراسي:** السنة الثالثة إعدادي --- ### أولاً: التعلمات الأساسية يهدف هذا الدرس إلى تمكين المتعلم من المعارف والمهارات الرياضية الآتية: * إنجاز سلسلة من العمليات بأقواس أو بدونها على الأعداد الحقيقية، وذلك بالاعتماد على تقنيات النشر والتعميل. * توظيف المتطابقات الهامة في الاتجاهين؛ لنشر وتعميل التعابير الجبرية. * استعمال المتطابقات الهامة كأداة رياضية لحل المسائل. --- ### ثانياً: توزيعية الضرب على الجمع (النشر والتعميل) #### 1. جداء عدد في مجموع أو فرق تخضع عملية ضرب عدد حقيقي في مجموع أو فرق للقواعد التوزيعية الآتية: * $a(b + c) = ab + ac$ * $a(b - c) = a[b + (-c)] = ab + a(-c) = ab - ac$ #### 2. جداء مجموعين تُحدد خاصية نشر جداء مجموعين وفرقهما على النحو التالي: * $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ * $(a + b)(c - d) = (a + b)[c + (-d)] = ac + a(-d) + bc + b(-d) = ac - ad + bc - bd$ * $(a - b)(c + d) = [a + (-b)](c + d) = ac + ad + (-b)c + (-b)d = ac + ad - bc - bd$ * $(a - b)(c - d) = [a + (-b)][c + (-d)] = ac + a(-d) + (-b)c + (-b)(-d) = ac - ad - bc + bd$ #### 3. تطبيقات وتمارين * **النشر والتبسيط:** * $3(2x + 3) = 3 \times 2x + 3 \times 3 = 6x + 9$ * $(3x - 1) \times (-4) = 3x \times (-4) - 1 \times (-4) = -12x + 4$ * $(3x - 5)(x - 2) = 3x \times x - 3x \times 2 - 5 \times x + 5 \times 2 = 3x^2 - 6x - 5x + 10 = 3x^2 - 11x + 10$ * **التعميل:** * $x^2 + 4x = x \times x + x \times 4 = x(x + 4)$ * $a^2b - ab^2 = ab \times a - ab \times b = ab(a - b)$ * $x(x + 2) - x - 2 = x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2)x - (x + 2) \times 1 = (x + 2)(x - 1)$ --- ### ثالثاً: المتطابقات الهامة #### 1. مربع مجموع عددين * **القاعدة:** $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(\frac{1}{2}x + 3)^2 = (\frac{1}{2}x)^2 + 2 \times \frac{1}{2}x \times 3 + 3^2 = \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$$ * **تطبيق التعميل:** $$9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = (3x + 2)^2$$ #### 2. مربع فرق عددين * **القاعدة:** $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$$ * **تطبيق التعميل:** $$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2 = (x - 2)^2$$ #### 3. جداء مجموع عددين في فرقهما * **القاعدة:** $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$ * **تطبيق النشر والتبسيط:** $$(2x + \sqrt{5})(2x - \sqrt{5}) = (2x)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4x^2 - 5$$ * **تطبيق التعميل:** $$9y^2 - 16 = (3y)^2 - 4^2 = (3y + 4)(3y - 4)$$

# المعلم في المستوى - إحداثيتا نقطة - إحداثيتا متجهة ## 1. المعلم في المستوى - **تعريف المعلم:** نعتبر مستقيمين $(D)$ و $(D')$ متعامدين في نقطة $O$ ومدرجين، حيث وحدة تدريج المستقيم $(D)$ هي $OI$ ووحدة تدريج المستقيم $(D')$ هي $OJ$. يُسمى المستوى المنسوب إلى هذا المعلم بمعلم متعامد $(O, I, J)$. - **عناصر المعلم:** - النقطة $O$ تسمى أصل المعلم. - المستقيم $(OI)$ يسمى محور الأفاصيل. - إذا كان $OI = OJ$ (أي المسافتان متساويتان)، يُسمى المعلم "معلم متعامد ممنظم". ## 2. إحداثيتا نقطة - كل نقطة $M$ في المستوى مرتبطة بزوج $(x, y)$ يسمى زوج إحداثيتي النقطة $M$ ونكتب $M(x, y)$، حيث: - $x$ يسمى أفصول النقطة $M$. - $y$ يسمى أرتوب النقطة $M$. ## 3. إحداثيتا متجهة واستقامية النقط - **إحداثيتا متجهة:** إذا كانت $A(a, b)$ و $B(c, d)$ نقطتين في المستوى، فإن إحداثيتي المتجهة $\vec{AB}$ هما: $$\vec{AB}(c - a, d - b)$$ - **تساوي متجهتين:** متجهتان متساويتان لهما نفس الإحداثيات. - **استقامية النقط:** لتكن النقط $M$ و $N$ و $P$، إذا كانت إحداثيات المتجهتين $\vec{MN}$ و $\vec{MP}$ ترتبط بعلاقة مضاعفة (مثل $\vec{MP} = 3\vec{MN}$)، فإن النقط $M$ و $N$ و $P$ تكون مستقيمية (شرط استقامية النقط). ## 4. إحداثيتا منتصف قطعة - إذا كانت النقطة $M(x, y)$ هي منتصف القطعة $[AB]$ حيث $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$، فإن إحداثيتي منتصف القطعة تحسبان بقاعدة نصف مجموع أفصولي الطرفين ونصف مجموع أرتوبي الطرفين: $$x = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y = \frac{y_A + y_B}{2}$$ ## 5. المسافة بين نقطتين - في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم، تُحسب المسافة بين نقطتين $A(x_A, y_A)$ و $B(x_B, y_B)$ (اعتماداً على مبرهنة فيتاغورس المباشرة في مثلث قائم الزاوية) بالعلاقة: $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

# ملخص درس: المعادلات والمتراجحات ## 1. المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد تُكتب المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد (المجهول $x$) على الشكل العام $ax = b$ (حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان)، أو بصيغ تؤول إليه مثل: - $\sqrt{2}x = 3$ - $\sqrt{3}x = \sqrt{6}$ - $3x = -8$ - $3x + 2 = -5$ **طريقة الحل:** تعتمد على إضافة مقابل العدد الثابت لطرفي المعادلة أو تحويله من طرف إلى آخر مع تغيير إشارته؛ فعلى سبيل المثال في المعادلة $3x + 2 = -5$: $$3x + 2 - 2 = -5 - 2 \implies 3x = -7$$ --- ## 2. حل المعادلة $ax = b$ يُقصد بحل المعادلة تحديد قيم المجهول $x$ التي تحقق المساواة، وتتحدد حالات الحل بناءً على قيمة المعامل $a$: 1. **إذا كان $a \neq 0$:** للمعادلة حل وحيد هو $x = \frac{b}{a}$. * *مثال:* حل المعادلة $3x = -12$ هو $x = \frac{-12}{3} = -4$. * *مثال:* حل المعادلة $\sqrt{2}x = 0$ هو $x = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$. 2. **إذا كان $a = 0$ و $b \neq 0$:** المعادلة ليس لها حل لعدم وجود عدد حقيقي يحققها (مثل: $0 \cdot x = \sqrt{3}$). --- ## 3. معادلات تؤول إلى المعادلات من الدرجة الأولى تتضمن هذه المعادلات تفكيك تعبيرات جبرية لإرجاعها إلى معادلات من الدرجة الأولى: - **معادلات الجداء المنعدم:** مثل $(x - 3)(x + 2) = 0$. يكون جداء عددين منعدماً إذا كان أحدهما على الأقل يساوي الصفر؛ إذن: $$x - 3 = 0 \text{ أو } x + 2 = 0 \implies x = 3 \text{ أو } x = -2$$ حلا المعادلة هما $3$ و $-2$. - **المتطابقات الهامة والمعادلات التربيعية:** مثل المعادلة $x^2 - 6x + 9 = 0$ التي تكتب على شكل متطابقة هامة $(x - 3)^2 = 0$، ومنه حلها الوحيد هو $x = 3$. --- ## 4. منهجية حل المسائل الرياضية تعتمد معالجة المسائل على أربع خطوات أساسية: اختيار المجهول، صياغة المعادلة، حلها، والتحقق من النتيجة. ومن نماذج المسائل التطبيقية: 1. **مسألة الأجزاء والنسب:** شخص أنفق $\frac{3}{10}$ ما لديه ثم أنفق $\frac{2}{7}$ من الباقي فبقي له 40 درهماً، والمبلغ الإجمالي الأصلي هو 100 درهم. 2. **مسألة الأعداد المتتابعة:** مجموع عددين صحيحين متتابعين يساوي 333 (العددان هما 166 و 167). 3. **مسألة القياسات والمساحات:** إذا زاد طول ضلع مربع بـ $3\text{cm}$ ازدادت مساحته بـ $75\text{cm}^2$ (طول ضلع المربع هو $11\text{cm}$). 4. **مسألة أجور العمل:** عاملان يتقاضى أحدهما 100 درهم للساعة والآخر 80 درهماً، وخلال 12 يوماً بلغ مجموع ما تقاضياه معاً 17280 درهماً، وعدد ساعات العمل اليومية هو 8 ساعات. 5. **مسائل الأعمار:** أحمد يكبر أخاه سمير بـ 10 سنوات، وبعد 20 سنة سيصبح مجموع عمريهما 60 سنة.

# ملخص درس: المثلثات المتقايسة ## 1. مفهوم مثلثين متقايسين يُقصد بالمثلثين المتقايسين أنهما مثلثان قابلان للتطابق. تُنتج عن تقايس مثلثين نتيجة أساسية مفادها أن أضلاعهما المتناظرة متقايسة وزواياهما المتناظرة متقايسة أيضاً؛ مثل تناظر الضلعين $[AB]$ و $[A'B']$ وتناظر الزاويتين $\widehat{BAC}$ و $\widehat{B'A'C'}$. --- ## 2. حالات تقايس المثلثات تعتمد دراسة تقايس المثلثات على ثلاث حالات رئيسية: ### الحالة الأولى: تقايس الأضلاع الثلاثة * **الخاصية:** إذا قايست أضلاع مثلث على التوالي أضلاع مثلث آخر، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** باعتبار المثلثين $ABC$ و $EFG$ بحيث تكون الأضلاع متقايسة على التوالي ($AB = EF$، و $AC = EG$، و $BC = FG$)، فنقول إن المثلثين متقايسان. ### الحالة الثانية: تقايس ضلعين والزاوية المحصورة بينهما * **الخاصية:** إذا قايس ضلعان في مثلث والزاوية المحصورة بينهما على التوالي ضلعان في مثلث آخر والزاوية المحصورة بينهما، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** نعتبر المثلثين $ABC$ و $EFG$ حيث يتطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما على التوالي، فنقول إن المثلثين متقايسان. ### الحالة الثالثة: تقايس زوايتين والضلع المحاذي لهما * **الخاصية:** إذا قايست زوايتان لمثلث والضلع المحاذي لهما على التوالي زوايتان لمثلث آخر والضلع المحاذي لهما، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** باعتبار المثلثين $ABC$ و $EFG$ مع تحقق تقايس الزاويتين والضلع المحاذي لهما على التوالي، نقول إن المثلثين $EFG$ و $ABC$ متقايسان.

# ملخص درس: الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في دائرة ## أولاً: الزاوية المحيطية * **التعريف:** هي كل زاوية رأسها ينتمي إلى الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة. * **أمثلة وتطبيقات:** * الزاوية $\hat{BAC}$ زاوية محيطية تحصر القوس $BC$. * إذا كان مستقيم مماساً للدائرة في نقطة رأس الزاوية المحيطية، فإن الزاوية تحصر القوس الواقع بين نقطة التماس والضلع الآخر. ## ثانياً: الزاوية المركزية * **التعريف:** هي كل زاوية رأسها مركز الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة. * **مثال:** الزاوية $AOB$ زاوية مركزية تحصر القوس $AB$. ## ثالثاً: خصائص الزوايا المحيطية والمركزية 1. **الخاصية الأولى (الارتباط):** ترتبط الزاوية المركزية بالزاوية المحيطية عندما تحصران نفس القوس؛ فالزاوية المركزية $\hat{FOG}$ هي المرتبطة بالزاوية المحيطية $\hat{FEG}$ لأنهما تحصران نفس القوس $FG$. 2. **الخاصية الثانية (القياس):** قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرتبطة بها ($\hat{FEG} = \frac{1}{2}\hat{FOG}$). 3. **الخاصية الثالثة (تساوي الزوايا المحيطية):** الزاويتان المحيطيتان اللتان تحصران نفس القوس تكونان متساويتين (مثل زاويتي $\hat{BAC}$ و $\hat{BPC}$ اللتين تحصران نفس القوس $BC$، إذن $\hat{BAC} = \hat{BPC}$).