السنة الثالثة إعدادي

**ملخص درس / واجب منزلي في مادة الرياضيات** * **المؤسسة:** إعدادية النهضة (Collège NAHDA) * **المستوى الدراسي:** الثالثة إعدادي (3APIC) * **المادة:** الرياضيات * **السنة الدراسية:** 2019/2020 * **الأستاذ:** عبد الإله بوطيب (Abdelilah BOUTAYEB) * **نوع المورد:** فرض منزلي رقم 1 (Devoir à la maison N°1) --- ### **مكونات الفرض ومحاور التمارين:** #### **التمرين الأول: الحسابيات والجذور التربيعية** 1. **حساب قيم أعداد تتضمن جذوراً مربعة وقوى:** * حساب تعبيرات تشمل مربعات وقوى الأعداد (مثل: $A = (-\sqrt{25})^2$ و $B = \sqrt{10^6}$ و $C = \sqrt{3}\times\sqrt{12}$). 2. **تبسيط تعبيرات تحتوي على جذور تربيعية:** * تبسيط مجموع جذور تربيعية مختلفة (مثل: $A = -\sqrt{54} + 4\sqrt{24} + 3\sqrt{6}$ و $B$ و $C = \sqrt{98} + \dots$ و $D = 2\sqrt{63} - 4\sqrt{28} - \sqrt{175}$). #### **التمرين الثاني: إزالة الجذر من المقام وحل المعادلات** 1. **إزالة الجذر التربيعي من المقام:** * كتابة كسور عددية وجذرية بدون جذر في المقام لتسيهل الحساب. 2. **حل المعادلات:** * إيجاد حلول معادلات من الدرجة الثانية بمجهول واحد (مثل: $-5x^2 + 3 = 0$ و $4x^2 + 2 = 1$). #### **التمرين الثالث: الحساب الحرفي، القوى، والكتابة العلمية** 1. **النشر والتبسيط:** * نشر وتخفيف تعبيرات جبرية حرفية تتضمن جذوراً مربعة وأقواسًا متعددة. 2. **التعميل والختزال:** * تفكيك وتعميل حدود جبرية متعددة المتغيرات والأعداد (تعميل تعبيرات تحتوي على مجاهيل مثل $x$ وحروف أخرى مثل $a, b, c$). 3. **حساب القوى والكسور:** * إجراء عمليات حسابية متقدمة على القوى الصحيحة (الأسس) والكسور العددية. 4. **الكتابة العلمية:** * تحويل أعداد عشرية وكبيرة إلى صيغة الكتابة العلمية (الترميز العلمي باستخدام القوى للعدد 10).

# ملخص درس: الحسابيات والحساب الرقمي (Arithmétique et calcul numérique) ## 1. قواسم عدد (Diviseurs d’un nombre) **طريقة إيجاد قائمة قواسم عدد:** 1. يُرسم خط عمودي، ويُكتب الرقم 1 في العمود الأيسر والعدد المطلوب في العمود الأيمن. 2. تُجرى محاولة قسمة العدد على 2: إذا كان الخارج عدداً صحيحاً، يُكتب 2 في اليسار والخارج في اليمين. 3. تُكرر الخطوة السابقة مع 3، ثم 4، وهكذا تصاعدياً. 4. التوقف عن القسمة بمجرد أن يصبح العدد المراد القسمة عليه موجوداً مسبقاً في العمود الأيمن. 5. تُكتب القائمة النهائية مرتبة من الأعلى إلى الأسفل في العمود الأيسر، ثم متابعة الصعود من الأسفل إلى الأعلى في العمود الأيمن. **ملاحظات أساسية:** - عندما يكون العدد مربعاً لعدد آخر، فإنه يظهر مرتين في جدول القسمة ولكن يُكتب مرة واحدة فقط في قائمة القواسم. **أمثلة تطبيقية:** - **قواسم العدد 63:** 1، 3، 7، 9، 21 و63. - **قواسم العدد 360:** 1، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10، 12، 15، 18، 20، 24، 30، 36، 40، 45، 60، 72، 90، 120، 180 و360. - **قواسم العدد 47:** بما أنه عدد أوليوأو قليل القواسم، فإن قواسمه هي 1 و47 فقط. --- ## 2. الأعداد الأولية (Nombres premiers) **التعريف:** - العدد الأولي هو كل عدد يقبل بالضبط قاسمين رئيسيين مختلفين وهما: 1 وفسه. **أمثلة:** - الأعداد الأولية الأصغر من 100 هي: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89 و97. - الأعداد غير الأولية مثل 15 (يقبل القسمة على 1، 3، 5 ولنفسه)، 12 (عدد زوجي يقبل القسمة على 2)، و121 (قواسمه هي 1، 11 و121). --- ## 3. التفكيك إلى جداء عوامل أولية (Décomposition en produit de facteurs premiers) **الخاصية الأساسية:** - كل عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2 يمكن تفكيكه بطريقة فريدة ووحيدة إلى جداء أعداد أولية. **طريقة التفكيك:** - يُبحث عن القواسم الأولية بترتيب تصاعدي (بالبدء من 2، ثم 3، 5، 7، إلخ) مع كتابة العدد على اليسار، ويُستمر في القسمة على نفس العوامل حتى الوصول إلى النتيجة 1. **أمثلة:** - **تفكيك العدد 180:** $$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$$ - **تفكيك العدد 1600:** $$1600 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^6 \times 5^2$$ - **باستعمال الآلة الحاسبة:** يمكن إدخال العدد المُراد تفكيكه متبوعاً بمفاتيح التحويل الخاصة بالآلة دون الحاجة للضغط على زر التساوي (=). --- ## 4. الكسور غير القابلة للاختزال (Fractions irréductibles) **الخاصية:** - لجعل الكسر غير قابل للاختزال، يُفكك كل من البسط والمقام إلى جداء عوامل أولية، ثم تُختزل العوامل الأولية المشتركة بينهما. **مثال تطبيقي:** $$\frac{1600}{180} = \frac{2^5 \times 5^2}{2^2 \times 3^2 \times 5} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5} = \frac{2^4 \times 5}{3^2} = \frac{80}{9}$$ **ملاحظة:** - تتيح الآلة الحاسبة إرجاع الكسر في شكله غير القابلة للاختزال بشكل آلي، لكنها لا تُقدم خطوات التحرير والشرح التفصيلية المرتبطة بالعملية.

### تكبير وتصغير المثلث (Agrandissement - Réduction d'un triangle) #### 1. التعريف ومبرهنة طالس يستند تكبير وتصغير الأشكال الهندسية إلى تكوين مبرهنة طالس؛ فإذا كان المستقيمان $[AM]$ و$[AN]$ مستقيمين لهما نفس الأصل، وكان المستقيمان $(MN)$ و$(BC)$ متوازيين، تتحقق العلاقات النسبية الآتية بين أضلاع المثلثين: $$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \quad \text{أو} \quad \frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$$ تظهر هذه البنية الهندسية في حالتين رئيسيتين لتطبيق مبرهنة طالس، وهما: «نصفا مستقيم لهما نفس الأصل ومستقيمان متوازيان» أو «مثلث ومستقيم يوازي أحد أضلاعه». وتُسمى هذه النواتج بالنسب. ومن خلال مقارنة المثلث الصغير $AMN$ والمثلث الكبير $ABC$، تُحسب الأقسام بقسمة «ضلع صغير على ضلع كبير» أو العكس. #### 2. الخصائص الأساسية * **حفظ الزوايا:** تظل الزوايا ثابتة ومحفوظة في عمليات التكبير والتصغير دون تغير. * **تغير المساحات والحجوم:** عند ضرب أطوال شكل هندسي في عدد موجب $k$، فإن مساحته تتضاعف مضروبة في $k^2$، بينما يُضرب حجمه في $k^3$. #### 3. خلاصة القواعد والمعاملات * **في حالة التكبير بمعامل $k$ (حيث $k > 1$):** * الطول المكبّر = الطول الأصلي $\times k$ * المساحة المكبرة = المساحة الأصلية $\times k^2$ * الحجم المكبر = الحجم الأصلي $\times k^3$ * **في حالة التصغير بمعامل $k$:** * الطول المصغّر = الطول الأصلي $\times k$ * المساحة المصغرة = المساحة الأصلية $\times k^2$ * الحجم المصغر = الحجم الأصلي $\times k^3$