السنة الثالثة إعدادي

# ملخص درس: المعادلات والمتراجحات ## 1. المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد تُكتب المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد (المجهول $x$) على الشكل العام $ax = b$ (حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان)، أو بصيغ تؤول إليه مثل: - $\sqrt{2}x = 3$ - $\sqrt{3}x = \sqrt{6}$ - $3x = -8$ - $3x + 2 = -5$ **طريقة الحل:** تعتمد على إضافة مقابل العدد الثابت لطرفي المعادلة أو تحويله من طرف إلى آخر مع تغيير إشارته؛ فعلى سبيل المثال في المعادلة $3x + 2 = -5$: $$3x + 2 - 2 = -5 - 2 \implies 3x = -7$$ --- ## 2. حل المعادلة $ax = b$ يُقصد بحل المعادلة تحديد قيم المجهول $x$ التي تحقق المساواة، وتتحدد حالات الحل بناءً على قيمة المعامل $a$: 1. **إذا كان $a \neq 0$:** للمعادلة حل وحيد هو $x = \frac{b}{a}$. * *مثال:* حل المعادلة $3x = -12$ هو $x = \frac{-12}{3} = -4$. * *مثال:* حل المعادلة $\sqrt{2}x = 0$ هو $x = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$. 2. **إذا كان $a = 0$ و $b \neq 0$:** المعادلة ليس لها حل لعدم وجود عدد حقيقي يحققها (مثل: $0 \cdot x = \sqrt{3}$). --- ## 3. معادلات تؤول إلى المعادلات من الدرجة الأولى تتضمن هذه المعادلات تفكيك تعبيرات جبرية لإرجاعها إلى معادلات من الدرجة الأولى: - **معادلات الجداء المنعدم:** مثل $(x - 3)(x + 2) = 0$. يكون جداء عددين منعدماً إذا كان أحدهما على الأقل يساوي الصفر؛ إذن: $$x - 3 = 0 \text{ أو } x + 2 = 0 \implies x = 3 \text{ أو } x = -2$$ حلا المعادلة هما $3$ و $-2$. - **المتطابقات الهامة والمعادلات التربيعية:** مثل المعادلة $x^2 - 6x + 9 = 0$ التي تكتب على شكل متطابقة هامة $(x - 3)^2 = 0$، ومنه حلها الوحيد هو $x = 3$. --- ## 4. منهجية حل المسائل الرياضية تعتمد معالجة المسائل على أربع خطوات أساسية: اختيار المجهول، صياغة المعادلة، حلها، والتحقق من النتيجة. ومن نماذج المسائل التطبيقية: 1. **مسألة الأجزاء والنسب:** شخص أنفق $\frac{3}{10}$ ما لديه ثم أنفق $\frac{2}{7}$ من الباقي فبقي له 40 درهماً، والمبلغ الإجمالي الأصلي هو 100 درهم. 2. **مسألة الأعداد المتتابعة:** مجموع عددين صحيحين متتابعين يساوي 333 (العددان هما 166 و 167). 3. **مسألة القياسات والمساحات:** إذا زاد طول ضلع مربع بـ $3\text{cm}$ ازدادت مساحته بـ $75\text{cm}^2$ (طول ضلع المربع هو $11\text{cm}$). 4. **مسألة أجور العمل:** عاملان يتقاضى أحدهما 100 درهم للساعة والآخر 80 درهماً، وخلال 12 يوماً بلغ مجموع ما تقاضياه معاً 17280 درهماً، وعدد ساعات العمل اليومية هو 8 ساعات. 5. **مسائل الأعمار:** أحمد يكبر أخاه سمير بـ 10 سنوات، وبعد 20 سنة سيصبح مجموع عمريهما 60 سنة.

# ملخص درس: المثلثات المتقايسة ## 1. مفهوم مثلثين متقايسين يُقصد بالمثلثين المتقايسين أنهما مثلثان قابلان للتطابق. تُنتج عن تقايس مثلثين نتيجة أساسية مفادها أن أضلاعهما المتناظرة متقايسة وزواياهما المتناظرة متقايسة أيضاً؛ مثل تناظر الضلعين $[AB]$ و $[A'B']$ وتناظر الزاويتين $\widehat{BAC}$ و $\widehat{B'A'C'}$. --- ## 2. حالات تقايس المثلثات تعتمد دراسة تقايس المثلثات على ثلاث حالات رئيسية: ### الحالة الأولى: تقايس الأضلاع الثلاثة * **الخاصية:** إذا قايست أضلاع مثلث على التوالي أضلاع مثلث آخر، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** باعتبار المثلثين $ABC$ و $EFG$ بحيث تكون الأضلاع متقايسة على التوالي ($AB = EF$، و $AC = EG$، و $BC = FG$)، فنقول إن المثلثين متقايسان. ### الحالة الثانية: تقايس ضلعين والزاوية المحصورة بينهما * **الخاصية:** إذا قايس ضلعان في مثلث والزاوية المحصورة بينهما على التوالي ضلعان في مثلث آخر والزاوية المحصورة بينهما، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** نعتبر المثلثين $ABC$ و $EFG$ حيث يتطابق ضلعان والزاوية المحصورة بينهما على التوالي، فنقول إن المثلثين متقايسان. ### الحالة الثالثة: تقايس زوايتين والضلع المحاذي لهما * **الخاصية:** إذا قايست زوايتان لمثلث والضلع المحاذي لهما على التوالي زوايتان لمثلث آخر والضلع المحاذي لهما، فإن هذين المثلثين متقايسان. * **مثال:** باعتبار المثلثين $ABC$ و $EFG$ مع تحقق تقايس الزاويتين والضلع المحاذي لهما على التوالي، نقول إن المثلثين $EFG$ و $ABC$ متقايسان.

# ملخص درس: الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في دائرة ## أولاً: الزاوية المحيطية * **التعريف:** هي كل زاوية رأسها ينتمي إلى الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة. * **أمثلة وتطبيقات:** * الزاوية $\hat{BAC}$ زاوية محيطية تحصر القوس $BC$. * إذا كان مستقيم مماساً للدائرة في نقطة رأس الزاوية المحيطية، فإن الزاوية تحصر القوس الواقع بين نقطة التماس والضلع الآخر. ## ثانياً: الزاوية المركزية * **التعريف:** هي كل زاوية رأسها مركز الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة. * **مثال:** الزاوية $AOB$ زاوية مركزية تحصر القوس $AB$. ## ثالثاً: خصائص الزوايا المحيطية والمركزية 1. **الخاصية الأولى (الارتباط):** ترتبط الزاوية المركزية بالزاوية المحيطية عندما تحصران نفس القوس؛ فالزاوية المركزية $\hat{FOG}$ هي المرتبطة بالزاوية المحيطية $\hat{FEG}$ لأنهما تحصران نفس القوس $FG$. 2. **الخاصية الثانية (القياس):** قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المرتبطة بها ($\hat{FEG} = \frac{1}{2}\hat{FOG}$). 3. **الخاصية الثالثة (تساوي الزوايا المحيطية):** الزاويتان المحيطيتان اللتان تحصران نفس القوس تكونان متساويتين (مثل زاويتي $\hat{BAC}$ و $\hat{BPC}$ اللتين تحصران نفس القوس $BC$، إذن $\hat{BAC} = \hat{BPC}$).

### الدوال الخطية والدوال التآلفية #### 1. الدالة الخطية * **التعريف:** هي العلاقة التي تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الحقيقي $ax$. * **التعبير الرياضي:** يُرمز للدالة غالباً بـ $f$، ونكتب: $$f(x) = ax$$ * يُسمى العدد $ax$ صُورة العدد $x$ بالدالة $f$. * يُسمى العدد $a$ مُعامل الدالة الخطية. * **مثال توضيحي:** مساحة مستطيل عرضه $x$، حيث تُعبر العلاقة $f(x) = 4x$ عن دالة خطية يُمثل فيها $f(x)$ المساحة. * **التمثيل المبياني:** نقط المستوى $(x, f(x))$ تكون مستقيماً معادلته $y = ax$ يمر من أصل المعلم. #### 2. الدالة التآلفية * **التعريف:** هي العلاقة التي تربط كل عدد حقيقي $x$ بالعدد الحقيقي $ax + b$. * **التعبير الرياضي:** نكتب: $$f(x) = ax + b$$ * يُسمى العدد $ax + b$ صُورة العدد $x$ بالدالة $f$. * يُسمى العدد $a$ مُعامل الدالة التآلفية، ويُسمى العدد $b$ الأرتوب عند الأصل. * **مثال توضيحي:** محيط مستطيل عرضه $x$، حيث تُعبر العلاقة $f(x) = 2x + 8$ عن دالة تآلفية يُمثل فيها $f(x)$ المحيط. * **التمثيل المبياني:** يُمثل هندسياً بمستقيم معادلته المختصرة $y = ax + b$.

# ملخص درس: الحساب المثلثي ## 1. النسب المثلثية لزاوية حادة في مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ (حيث $[BC]$ هو الوتر): * **جيب تمام زاوية حادة ($\cos$):** النسبة بين طول الضلع المحاذي للزاوية وطول الوتر. $$\cos(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المحاذي للزاوية } ABC}{\text{طول الوتر } BC}$$ * **جيب زاوية حادة ($\sin$):** النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر. $$\sin(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المقابل للزاوية } ABC}{\text{طول الوتر } BC}$$ * **ظل زاوية حادة ($\tan$):** النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المحاذي لها. $$\tan(ABC) = \frac{\text{طول الضلع المقابل للزاوية } ABC}{\text{طول الضلع المحاذي للزاوية } ABC}$$ ## 2. الخاصيات الأساسية مهما كان $\alpha$ قياس زاوية حادة ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): * محصورة بين القيمتين: $0 < \cos\alpha < 1$ و $0 < \sin\alpha < 1$ * **الخاصية الثانية:** $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ * **الخاصية الثالثة (الظل):** $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ## 3. النسب المثلثية لزاويتين متتامتين إذا كان $\alpha$ و $\beta$ قياسي زاويتين حادتين بحيث $\alpha + \beta = 90^\circ$: * $\cos\alpha = \sin\beta$ * $\sin\alpha = \cos\beta$ * $\tan\alpha = \frac{1}{\tan\beta}$ ## 4. النسب المثلثية لزوايا خاصة * **0°:** $\sin = 0$ ، $\cos = 1$ ، $\tan = 0$ * **30°:** $\sin = \frac{1}{2}$ ، $\cos = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\tan = \frac{\sqrt{3}}{3}$ * **45°:** $\sin = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\cos = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ، $\tan = 1$ * **60°:** $\sin = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\cos = \frac{1}{2}$ ، $\tan = \sqrt{3}$ * **90°:** $\sin = 1$ ، $\cos = 0$ ، $\tan = \text{غير معرف}$ ## 5. تطبيق عددي نموذج نعتبر $\alpha$ قياس زاوية حادة غير منعدمة حيث $\cos\alpha = \frac{2}{3}$: * **حساب $\sin\alpha$:** بما أن $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$، فإن: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$ ومنه: $$\sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ * **حساب $\tan\alpha$:** $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$ * **حساب $\sin(90^\circ - \alpha)$:** بما أن $\alpha$ و $(90^\circ - \alpha)$ زاويتان متتامتان، فإن: $$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$$

# ملخص درس: الجذور المربعة (السنة الثالثة إعدادي) ## 1. المقطع الأول: الجذر المربع لعدد حقيقي موجب * **تعريف:** يُعرّف الجذر المربع لعدد حقيقي موجب $a$ بأنه العدد الحقيقي الموجب الذي مربعه يساوي $a$، ويُرمز له بالرمز $\sqrt{a}$. * **العلاقة الرياضية:** $\sqrt{a} = b$ تعني أن $b^2 = a$ حيث $a \ge 0$ و $b \ge 0$. * **خصائص أساسية:** لكل عدد حقيقي موجب $a$: - $(\sqrt{a})^2 = a$ - $\sqrt{a^2} = a$ * **ملاحظة:** إذا كان $a$ عدداً حقيقياً سالباً غير منعدم، فإن الكتابة $\sqrt{a}$ تصبح عديمة المعنى. * **أمثلة:** $\sqrt{25} = 5$، $\sqrt{9} = 3$، $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. --- ## 2. المقطع الثاني: حل المعادلة $x^2 = a$ * **قاعدة الحل:** - إذا كان $a = 0$، فإن المعادلة تقبل حلاً وحيداً هو $x = 0$. - إذا كان $a > 0$، فإن المعادلة تقبل حلين هما $-\sqrt{a}$ و $\sqrt{a}$. * **أمثلة تطبيقية:** - **المعادلة الأولى:** $(x - 1)^2 = 3$ تعني أن $x - 1 = \sqrt{3}$ أو $x - 1 = -\sqrt{3}$، ممّا يقود إلى حلين هما: $x = \sqrt{3} + 1$ و $x = -\sqrt{3} + 1$. - **المعادلة الثانية:** $3x^2 + 1 = 0$ تعني أن $x^2 = -\frac{1}{3}$، وهي معادلة ليس لها حل لكون مربع أي عدد حقيقي ($x^2$) موجباً أو منعدماً مهما كانت قيمة $x$. --- ## 3. المقطع الثالث: عمليات على الجذور المربعة * **الخاصية الأولى (الجداء):** - لكل عددين حقيقيين موجبين $a$ و $b$: $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. - ينتج عن ذلك: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ (حيث $a \ge 0$ و $b \ge 0$). - **أمثلة:** $\sqrt{5 \times 7} = \sqrt{35}$، $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$، $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. - **تنبيه هام:** بصفة عامة، $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (مثال: $\sqrt{16+9} = 5$ بينما $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 7$). * **الخاصية الثانية (الخارج):** - لكل عدد حقيقي موجب $a$ وعدد حقيقي موجب قطعا $b$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. - **أمثلة:** $\sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$، $\sqrt{\frac{28}{7}} = \sqrt{4} = 2$. * **الخاصية الثالثة (العمليات على المقامات):** - لكل عدد حقيقي موجب قطعا $b$: $\frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{b}$، و $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$. - **أمثلة:** $\frac{5}{\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{11}}{11}$، $\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.

# ملخص درس: الترتيب والعمليات **المستوى:** الثالثة ثانوي إعدادي ## المكتسبات القبلية تعتمد دراسة الترتيب والعمليات على المكتسبات التالية: - العمليات على الأعداد الحقيقية. - تقنيات الحساب العددي وقواعد الإشارة. - الترتيب في الأعداد الجذرية. --- ## I. مقارنة عددين حقيقيين تتم مقارنة عددين حقيقيين $a$ و $b$ انطلاقاً من إشارة فرقهما وفق القاعدة التالية: - إذا كان $a - b < 0$ فإن $a 0$ فإن $a > b$. --- ## II. الترتيب والعمليات ### 1) الترتيب والجمع - إذا كان $a < b$ فإن $a + c < b + c$ (لكل أعداد حقيقية $a$ و $b$ و $c$). - إذا كان $a < b$ و $c < d$ فإن $a + c 0$):** إذا كان $a < b$ فإن $ac < bc$. - **الحالة الثانية (ضرب في عدد سالب قطعا $c < 0$):** إذا كان $a bc$. - بالنسبة للأعداد الحقيقية الموجبة، توجد متراجحات أساسية مثل: $a^2 + b^2 \ge 2ab$. ### 3) الترتيب والمقلوب - إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبيْن قطعاً بحيث $a \frac{1}{b}$$ ### 4) الترتيب والمربع - **بالنسبة للأعداد الموجبة:** إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبيْن بحيث $a < b$، فإن: $$a^2 < b^2$$ - **بالنسبة للأعداد السالبة:** إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين سالبين بحيث $a b^2$$ ### 5) الترتيب والجذر المربع - إذا كان $a$ و $b$ عددين حقيقيين موجبيْن بحيث $a < b$، فإن: $$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$ --- ## III. التأطير ### 1) تأطير مجموع عددين إذا كان $x < a < y$ و $z < b < t$، فإن تأطير المجموع $a + b$ يُعطى بالعلاقة: $$x + z < a + b < y + t$$ ### 2) تأطير مقابل عدد حقيقي إذا كان الأعداد الحقيقية محصورة بين $x < a < y$، فإن تأطير المقابل $-a$ هو: $$-y < -a < -x$$ ### 3) تأطير فرق عددين يُستنتج تأطير الفرق $a - b$ بالاستعانة بكتابته على شكل مجموع: $a - b = a + (-b)$. ### 4) تأطير جداء عددين بالنسبة للأعداد الحقيقية الموجبة، إذا كان $x < a < y$ و $z < b < t$، فإن تأطير الجداء $a \times b$ هو: $$x \times z < a \times b < y \times t$$ ### 5) تأطير مقلوب عدد حقيقي غير منعدم باعتبار الأعداد غير المنعدمة، يُؤطر مقلوب العدد بناءً على انعكاس الترتيب للمقلوب في المجالات الموجبة أو السالبة قطعا. ### 6) تأطير خارج عددين يُستنتج تأطير الخارج $\frac{a}{b}$ من خلال دمج تأطير الجداء وتأطير المقلوب بشروط أن يكون المقسوم عليه غير منعدم ومحصوراً بين عددين لهما نفس الإشارة.